数学上、単純な例として引用されるのは、「Pappos の定理」 および その相対定理です。その定理を単純に言い切ってしまえば、射影幾何の体系では、「点」 と 「直線」 の意味を入れ替えて解釈しても、違いが生じない。興味のある人は、数学の文献を読んでみて下さい。

　1つの公理系に対して、いくつかの意味を付与することができるというのは、形式的構造の弱みでもあり強みでもあるのでしょうね。というのは、或る構造 （A） の性質を調べるために、それと同じ文が成立する ほかの構造 （A'） を作って、A' を調べて、A' の帰結を A に移すことができるから。モテ゛ル 作りでは、この やりかた が使われます。すなわち、「準同型 （homomorphism）」 を考えます。たとえば、型 N （自然数の体系） との初等的同値を考えるとか。この みごとな実例が ケ゛ーテ゛ル の不完全性定理でしょう。

　さて、以下を考えてみます。

　（1） コット゛ 関係 モテ゛ル は、完全性が証明されている。

　（2） 意味論を導入した モテ゛ル T を考える。
　　（2）-1　モテ゛ル T では、項 （ただし、意味論的な対象） が定義されている。
　　（2）-2　モテ゛ル T では、項を使って、構造を作る文法が定義されている。

　（3） もし、コット゛ 関係 モテ゛ル のなかで 「真」 として成立する文が モテ゛ル
　　　T でも成立するなら、モテ゛ル T は コット゛ 関係 モテ゛ル を包摂している。

　ただし、ここでやっかいな点は、（「モテ゛ル T は コット゛ 関係 モテ゛ル を包摂している」 というふうに綴っていますが、） 「同値」 であるとは言えない点です。というのは、モテ゛ル T のなかで 「真」 とされても、コット゛ 関係 モテ゛ル では 「真」 とされない文があるかもしれないから。すなわち、モテ゛ル T は、コット゛ 関係 モテ゛ル と同型ではないかもしれないということです。

　関数従属性を使って構成される構造に対して、その構造のなかの同じメンハ゛ーを使って、ほかの構造を作る射 φ: |A| → |A'| があれば、変換の規約さえ導入すれば良いので--しかも、その変換が、A' の定義に矛盾しないのであれば--、整合性を崩さない。たとえば、以下を考えてみます。

　　A ├｛従業員番号、従業員名称、...部門 コート゛ (R)｝,
　　　　｛部門 コート゛、部門名称...｝.
　　（aRb を関数従属性のなかで考えれば、「真」 である。）

　　A' ├｛従業員番号、従業員名称...｝, ｛部門 コート゛、部門名称...｝,
　　　　｛従業員番号 (R)、部門 コート゛ (R)｝.
　　（aRb を意味論を前提にして考えれば、「真」 である。）

　ただし、以下の文は、A と A' では、「解釈」 が違う。

　　　（部品番号 (R)、部品番号 (R)）.

　「解釈」 の違いを際立って説明するために、この構成のなかに アトリヒ゛ュート はないとします。この構成は、A では、部品 セット 上の射影として考えられて、セット ではないとされますが、A' では、テ゛ータ 構造として生成します。A と A' は 「同型」 ではないので、A' の この構成 （文） を A の初等的拡大として考えることはできない。しかし、この構成 （文） は、A' のなかでは 「真」 とされます。なぜなら、A' の文法に従って構成され、かつ、意味論上、事実的な 「F-真」（部品構成表） を示すから。

　さて、部品構成表を 「導出」 される複合概念 （atomic な テ゛ータ を使って生成される情報） とみるか、それとも、1つの事実として考えるかは、モテ゛ル が前提としている 「哲学」 次第です。数学的構造としてみれば、A は ハ゜ーフェクト な モテ゛ル ですが、A に対する射が A' に存在しても、A' には、A では 「真」 とされない文がふくまれています。そのために、A' は A の初等的拡大ではないので、A を使って A' の完全性を証明することはできない。

　ここまで読めば、A は コット゛ 関係 モテ゛ル であり、A' が TM であることをわかったでしょう （笑）。A に対して、意味論を強く適用して A' を作ったのですが、A' は A を使って完全性を単純に証明できないということになった点が、小生を悩ました最大の点でした。

　TM は、以下の 3つを前提にした モテ゛ル です。

　　（1） entity を定義する。
　　（2） entity は、event か resource に類別される。
　　　（2）-1　event を定義する。
　　　（2）-2　resource は event の補集合とする。
　　（3） entity を項として、構造を作る文法を定義する。

　そして、作図された構造は、多値の排除・周延を配慮しています。
　aRb で、a および b を resource として、R を すべて event とすれば、TM の文法に対して完全性を証明することは簡単だったのですが、難点になったのが、TM の entity に関する定義では、R が ときには a や b の個体として認知されるという点でした。すなわち、R の部分集合として event が成立するので、構文論上、event のなかで、R と同じ演算--(R) の演算--をしなければならないという点でした。

　作図された構造は、すべて、entity を起点にして文法どおりに構成されるので、構文論上、構造を完全に証明できます。ただ、意味論を導入したがために、構成表が妥当であるかどうかという点は、（コット゛ 関係 モテ゛ル の関数従属性あるいは、その初等的拡大を使うことができないので、） 「真」 概念として、事実的な 「F-真」 および 導出的な 「L-真」 を導入した次第です。したがって、作図された構造 （構成表） が、すべて、構文論上、証明できて、かつ、意味論上、「F-真」 を示す構成表を 「妥当な」 構造とします。そうしなければ、TM の無矛盾性・完全性を担保することができない。

　
　（2006年 3月 1日）