2006年 8月16日

応用編-14　サブセット の擬態 （その 1）

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2011年 7月16日 補遺

　本節では、サブセット の 「まじわり」 を扱っている。

　セット と サブセット は、数学上、「同値類」 である。そして、同値類に対して、「分割と細分」 を適用した考えかたを、ベーシック (432ページ 参照） で示した [ 以下に、「分割と細分」 に関する記述を再録する ]。

● 分割 （partition、あるいは、類別）

　集合 Ａ の部分集合の族を考えてみる （集合を メンバー とする集合のことを集合族という）。集合族 π が、以下の 2つの条件を満たすなら、π を Ａ の分割 （partition） あるいは、類別 という。

　　（1） Ｓ ∈ π ∧ Ｔ ∈ π ∧ Ｓ ≠ Ｔ ⇒ Ｓ ∩ Ｔ ＝ φ.
　　（2） Ａ ＝ ∪ Ｓ.
　　　　　　　　Ｓ∈π

　そして、分割 （類別） の メンバー である集合のことを 「類」 という。
　数式を使って記述すると、ややこしいように感じるかもしれないが、上述した式が示していることは、単純に言えば、以下の意味である。

　　（1） Ａ は、「集合の集合」 である。
　　（2） π は、Ａ の部分集合を集めた全体である。
　　（3） π は、Ｓ と Ｔ から構成される。
　　（4） Ｓ と Ｔ は、交叉しない。

　つまり、Ａ は、同値関係によって、同値類 （Ｓ と Ｔ） を「類」として、類別されることを言っている。
　そして、Ａ 上の同値関係Ｒ による同値類全体の作る集合 （集合族 π） を Ａ/Ｒ というふうに記述して、Ａ の Ｒ による商集合 という。

　
● 細分 （refinement）

　Ｒ₁　と Ｒ₂ が、Ａ 上の同値関係である、とする。
　そして、∀ x, y ∈ Ａ に対して、ｘＲｙ₁　⇒ ｘＲｙ₂ が成立するならば、Ｒ₁ は Ｒ₂ の 「細分」 である、という。
　すなわち、∀ x ∈ Ａ について、[ ｘ ]_R1 ⊆ [ ｘ ]_R2 であり、Ｒ₂ の同値類は、Ｒ₁の同値類いくつかの和集合となる。言い換えれば、Ａ/Ｒ₁　⊆ Ａ/Ｒ₂ のこと。

　以上のような言いかたをすれば、ややこしいように感じるが、単純に言えば、Ａ/Ｒ₁　と Ａ/Ｒ₂ は、（同値関係だから、） 総数 （cardinality） が同じであって、Ａ/Ｒ₁ は、Ａ/Ｒ₂ を、さらに、こまかに、仕切った状態 （集合族） である、と考えればよい。

　
● 分割と細分を、Ｔ字形風に記述すれば...

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┌─────┐
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　│　　　　　│
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　│　　　　　│
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　└──┬──┘
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　│
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┌───┴───┐
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　│　　　　　　　│
　　　　　　　　　　　　分割　　　┌──┴──┐　┌──┴──┐
　　　　　　　　　　　──────┼─────┼─┼─────┼──→
　　　　　　　　　　│　　　　　　│　　　　　│　│　　　　　│
　　　　　　　　　　│　　　　　　└──┬──┘　└─────┘
　　　　　　　　細分│　　　　　　　　　│
　　　　　　　　　　│　　　　　┌───┴───┐
　　　　　　　　　　│　　　　　│　　　　　　　│
　　　　　　　　　　│　　┌──┴──┐　┌──┴──┐
　　　　　　　　　　│　　│　　　　　│　│　　　　　│
　　　　　　　　　　│　　│　　　　　│　│　　　　　│
　　　　　　　　　　│　　└─────┘　└─────┘
　　　　　　　　　　↓

　
　したがって、Ｔ字形 ER手法 （TM および TM’） では、サブセット の交叉を認めていない。

　
　実地の データ 設計では、サブセット は 「区分 コード」 を使って示される。
　「区分 コード」 は、「管理の視点」 を示している。その 「管理の視点」 が データ 構造として妥当かどうか──「周延」 しているかどうか （正しい集合になっているかどうか）──を検証しなければならない。

　というのは、もし、「周延」 していなければ──もし、サブセット のあいだに 「まじわり」 が起これば──、プログラム は、アルゴリズム のなかで、nested-IF を使って、データ を周延しなければならないから。たとえば、「黒本」 の例で云えば、もし、取引先区分 コード が 9つの値をもっていて、かつ、それらの 値 のなかに 「まじわり」 が起こるとすれば、プログラム は、アルゴリズム として、2⁹ の判断 （nested-IF） を用意しなければならない。しかし、データ が周延していれば、リレーショナル 代数演算として、1つの select 文を作成すれば良い。

　サブセット の 「まじわり」 は、プログラム の複雑性 （cyclomatic complexity） を増大している悪因である。したがって、サブセット のあいだに 「まじわり」 がないことを検証して、プログラム の アルゴリズム が無駄な コントロール・フロー をふくまないようにしてほしい。 □

[ 補遺 ] （2011年 7月16日）

　本 エッセー のなかで使っている数学的説明 「分割と細分」 は、（執筆年から判断して、） 「赤本」 の頃に使っていた論証だと思います。今は、もっと簡単な説明 （「切断」 概念、デデキント 氏が実数を定義するときに使った概念） を使っています。ちなみに、「切断」 概念を使うようになったのは、「いざない」 を出版した後だと記憶しています──「いざない」 も、「分割と細分」 を使っているので。

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