（1） 項 （定項）

　（2） モーダス・ポーネンス

　（3） 量化

　
● 項 （定項）

　「項」 は、2つに分けられます──「変項 （変数）」 と 「定項 （定数）」。代数言語 L では──数学のそれぞれの部門 （領域） で 「項」 が定義されていて、ここでは代数 （あるいは、論理） の領域に限って述べていますが──、「項」 は次のように定義されます。

　（1） 変数は項である （x, y,・・・の アルファベット を使う）。

　（2） 関数 f を変数とするとき、f (x), f (y),・・・は項である。

　（3） 定数は項である。

　定数 （定項） とは、文 （式） のなかで 「意味」 を変えない記号のことです。たとえば、代数では、＋ とか − とか × とか ÷ とか ＝ などが定数です。Logic （論理） の定数を ふつう 論理定項と云います──論理定項は、次の5つです。

　（1） AND （連言という、記号は ∧）
　（2） OR　（選言、∨）
　（3） NOT （論理的否定、¬）
　（4） IF　（仮言、⇒）
　（5） 論理的同値 （等しい、≡）

　それらの使用例は 「いざない」 を読んでください。
　さて、論理定項のなかで、興味深いのは論理的否定 （¬） です。この定項は、文を接続する項ではなくて、文に対する演算を示す項です。或る意味では、この定項は思考の起点になっていると思ってもいいくらいです──その例として、「いざない」 では、「シェファー の棒記号」 および ウィトゲンシュタイン の 「論理哲学論考」（のなかで述べられている 「論理の一般形式」） を示しました。実は、私が 「シェファー の棒記号」 を初めて知ったのは、ウィトゲンシュタイン の 「論理哲学論考」 を読んで、そのなかで触れられていたからです。論理的否定さえあれば、連言・選言・仮言を作り出すことができます （それらの例は 「いざない」 を読んでください）。ものごとを考えるとき、対象の論理的否定 （あるいは 「対偶」） を考える癖をつけておけば、論証を構成するうえで きっと役立つでしょう。

　
● モーダス・ポーネンス

　モーダス・ポーネンス （p ⇒ q において、p が真なら q も真であるとき、そしてそのときに限り有効であるということ） は推論の鉄則です。これを次の形式で書きます──

　　　p ⇒ q
　　　p
　　─────
　　∴q

　　　p ⇒ q
　　¬q
　──────
　∴¬p

　　　p ⇒ q
　　　q ⇒ r
　　─────
　　∴p ⇒ r

　　すべての哺乳類は生物である。
　　すべての猫は生物である。
　────────────────
　∴すべての猫は哺乳類である。

　一見 妥当な推論のように聞こえますが、「三段論法」 の規則を違反していて、間違った推論であることは判断できるでしょう。なお、p ⇒ q は、¬ と ∨ を使って表すことができます──

　　p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q.

　この同値式は、数学の証明のなかで多々使われるので覚えておいてください。なお、どうして p ⇒ q が ¬p ∨ q になるのかは、「いざない」 を読んでください。

　
● 量化

　変数を扱うときには、その変数が走る （存在する） 範囲を明らかにしなければならない。そして、量 （与えられた項が成立する状態記述 [ すなわち、真と偽 ]） を明らかにしなければならない。それを量化といいます。量化には、「すべての」 と 「いくつかの」 があります──それぞれを記号で書けば、∀ と ∃。∀ （全称記号） は、All の略で、∃ （存在記号） は Existential の略です。量化記号も定数 （定項） です。次に例を示します──

　　佐藤正美はシステム・エンジニアである。

　このように変数を使っていない文を 「単称命題」 といいます。
　変数とは代名詞と思えばいい。すなわち、項として 「such that」（...というような モノ） として扱うということです。先の単称命題のなかの 「佐藤正美」 を代名詞にして、「...というような人が システム・エンジニア である」 とすれば──

　　x は システム・エンジニア である。

　この文のままであれば、x は自由変数なので、変数が走る （存在する） 範囲が明らかになっていません。そこで、対象となる モノ として 「人間」 の集合を考えれば、範囲が明らかになったのですが、すべての人間が システム・エンジニア ではない──システム・エンジニア の人間もいるということなので、量化の存在記号を使えば、∃x となります。このように量化記号を使って変数が成立する状態を記述します （∀ と ∃ を使った例は 「いざない」 を読んでください）──量化記号を付与された変数を 「束縛変数」 といいます。単称命題に対して、∀ を付与された命題を 「全称命題」 といい、∃ を付与された命題を 「存在命題 （あるいは、特称命題）」 といいます。

　私は 「いざない」 を入門書として執筆したので、量化については詳しく記述していないので、量化が論証のなかで いかに重要な役割を果たしているかを知りたい人は、次の書物を読んでください──

　　「数学の基礎」（シュプリンガー 数学 クラシックス）、ヒルベルト、ベルナイス 共著、吉田夏彦、渕野 昌 共訳

　この書物を読めば、量化記号の重要性がわかるでしょう。この書物のなかには量化記号の オンパレード ですから。そして、構文論 （記号演算） の重要性を この書物は教えてくれるでしょう。ただし、数学基礎論を初めて学習する人は読まないでください。もし読みたいなら、記号論理学を習得してからにしてください。
　入門の人は、「数学の基礎」 を読む前に、次の書物を読めばいいでしょう──

　　「記号論理学の基礎」、ヒルベルト、アッケルマン 共著、石本 新、竹尾治一郎 共訳、大阪教育図書