（1） 或る モノ がその集合に入っているかどうか見分けることができる。

　（2） その集合から二つの モノ を取り出すと、それらが相等しいか相異なるのかを判断できる。

　普段の生活において モノ の集まりを考えるときには──ここでいう モノ は実在するものだけではなくて、頭の中で考えた抽象的なものもふくんでいます──、上記の定義で問題はないのですが、「無限」 を前提にした場合には （数学上では） 厄介な問題が出てきました。それが いわゆる 「集合論の パラドックス」 という問題です──「集合の集合」 全体を考える場合に、「じぶん自身をふくむ集合」 の扱いが問題になりました。この パラドックス には、構文論上の パラドックス と意味論上の パラドックスがあります。数学で扱う 「集合」 ですから、勿論、構文論上の パラドックス が数学者たちの対象になった （その詳細は、「いざない」 を読んでください）。そして、パラドックス を避けるために導入された ソリューション （安全基準） が次の 2つです──

　（1） 公理的集合論 （ツェルメロ が提示した）
　（2） タイプ 理論 （ラッセル が提示した）

　これらの ソリューション の詳細については後章で述べます。本節では、これらの ソリューション が どのような背景で生まれてきたのかを述べています。ここで覚えてほしいことは、「すべての集合の集合」 を 「集合」 とはいえなくなったことで、ツェルメロ が導入した安全基準である 「分出公理」（あるいは、「部分集合の公理」 とも云う） です──すなわち、{ x │ x ∈ A } ということの代わりに、{ A (x)│ x ∈ a } の形 （a という部分集合を考えること） を 「集合」 としました。もう一つの集合 （集合 a） を仲立ちにして 「すべての集合の集合」 を一気に考えないように [ つまり、集合 a よりも小さい集合を考えるように ] しました。この点を覚えておいてください──この公理 [ 仮定、前提 ] が公理的集合論の基点です。