集合 S₁ の任意な元に対して集合 S₂ の 1つの元を対応させる法則 f を 「写像」 といい、次のように記述します──

　　　f : S₁ → S₂.

　f によって x∈S₁ が y∈S₂ に対応するならば、f (x) = y と記述します。x に対して y （すなわち、f (x)） が存在しない場合を、f (x) は 「定義されていない （undefined）」 と云います──これを 「部分関数」 と云います。いっぽう、f (x) がすべて存在する f のことを 「全域関数」 と云います。

　「写像」 には、「全射」 と 「単射」 という二つの対応関係があります （それぞれの例については 「いざない」 を読んでください）。「全射」 かつ 「単射」 のことを 「全単射」 と云います──すなわち、2つの集合が対応して、かつそれぞれの集合の元が 「１対１」 に対応することを云います。「全単射」 のことを 「双射」 と混同している人がいますが、ふたつは違う。「双射」 とは、（「全単射」 のとき y に対して x を対応させることができるので） 逆関数 f^-1 が成立することを云います──つまり、双方向で 「１対１」 に対応するということ。

　ふたつの集合 （X と Y）において双射が成立するなら、X と Y は 「同数」 となります。「同数」 のことを集合論では 「同濃度」 と云います。双射は、「基数 （cardinality）」 の基礎となっています。

　ふたつの集合 （X と Y）において、X を 「命題」 の集合｛ x₁,.... x_n ｝ として、Y を 「真 （T）」 と 「偽 （F）」 という 2つの値の集合 ｛ T, F ｝ とすれば、Y = f (X) を考えることができます──この関数のことを 「真理関数」 と云います。

　「写像」 は、抽象的な取り扱い （モノ の 「構造」 を考えるなど） では基本となる技術ですので、ぜひ習得してください。実地の事業過程で扱われる データ では、数学のように全単射が成立しない事態が多い──例えば、1つの 「受注」 データ に対して、複数の 「請求」 データ が対応する事態とか。ふたつの集合の 「写像」 を元の対応からみれば、「全射」 は 「複数-対-１」 対応であり、「単射」 は 「１対１」 対応です。つまり、「関数」 とは 「複数-対-１」 および 「１対１」 のことを云い、「１-対-複数」 は 「関数」 にはならない。

　情報工学では モデル 図において ふたつの集合の元のあいだの対応性 （１対１、１-対-複数、複数-対-1、複数-対-複数） を明示しています。「受注」 と 「請求」 の 「１-対-複数」 関係が 「関数」 として扱われる理由は、「請求」 には 「受注」 に対応する 「制約束縛」 が付帯されているからです──たとえば、一つの 「受注」 で 100個の注文があって、複数の 「請求」 において 1回目の 「請求」 では 60個に対して請求して、それ以後の請求では残りの個数に対して請求して、請求する 個数が 100個になったら請求が終了するという 「制約束縛」 が作用するからです。