本章では、「関係の論理」の数学的な通説をまとめている。
　本章をまとめながら、小生の頭のなかにあった論点は、以下の２点であった。

　　（１） 関係の論理（ａＲｂ）を関数として扱わない。
　　（２） タイプ（階の）理論を使わない。

　本稿では、（１）を論考の対象とする。（２）は、次回、論述する。

　
● 命題論理と主語間の論理関係

　Ｔ字形ＥＲ手法は、コード体系および自然言語を前提にして、データの認知規準として、命題論理を使っている。しかし、命題論理では、以下の論理を解析できない。

　　　Ｓ_１ is on Ｓ_２.

　「主語-述語」という論理形式のほかに、主語の間に関係が成立する論理形式がある。

　
● ａＲｂ と多項述語論理式

　２つの主語間の関係を「ａＲｂ」として記述する。「ａＲｂ」は以下のように読む。

　　「ａはｂに対して関係Ｒにある。」 （Ｒは Relation の省略形である。）

　「ａＲｂ」は、２つの変項 （ａ と ｂ） をもつ命題関数である。

　単項述語論理式 [ Ｐ(ｘ) ] のなかの変項が２つになれば、Ｐ(x, y) として２項述語論理式になる。変項が２つ以上の命題関数を一括して多項命題関数（多項述語論理）という。２項述語論理式 [ Ｐ(x, y) ] の述語Ｐは、ｘ と ｙ との関係をあらわしているので、「ｘ と ｙ の関係の述語」、あるいは、単純に、ｘ と ｙ の「関係」ともいう。

　多項述語論理式は、集合論 （直積集合） を使って、関係の論理に転換できる。
　すなわち、関係の論理 [ ａＲｂ ] は、Ｒ (a, b) として考えて、２項述語論理式 [ Ｐ(x, y) ] と同値になる。

　
● 「関係＝関数」は、事業のなかで使われているデータを対象にすれば、成立しない。

　Ｐ(x, y) は、２つの変項をもつ関数 ｆ(x, y) である。つまり、「関係」とは「関数」のことである。

　「関係＝関数」を前提にして、コッド氏 （Codd, E.F.） は、直積集合を使ってデータ正規形を提示した。
　しかし、事業のなかで使われているデータを関数の変項にしたときに、以下の２点を対応できなかった。

　　（１） 順序対
　　（２） null 値

　関数（あるいは、集合）では、順序（先行関係）が前提となる。
　たとえば、ｆ(0, 1) と ｆ(1, 0) は、変項として同じ数値を使っているが、並びを変えれば「意味」がちがう。
　事業のデータを対象にしたとき、ｆ(出荷, 請求) と ｆ(請求, 出荷) では、関数として順序対は成立する。つまり、データの並びが変われば、「意味」がちがう。ｆ(出荷, 請求) は、出荷してから代金を回収することを「意味」しており、ｆ(請求, 出荷) は、入金後に出荷することを「意味」している。これらのデータに対して、関数は成立する。いっぽう、ｆ(部門, 従業員) と ｆ(従業員, 部門) では、並びを変えても、「意味」は同じである。いずれも、「配属」という意味になる。

　数学では、変項に対して、アルファベットを使えば、「すべての」データを並べることができる。
　しかし、事業のなかで使われているデータには、「時系列 （正常営業循環あるいは事業過程） のなかで並べられるデータ （並びが「意味」を形成するデータ）--したがって、関数を適用できるデータ--」と「時系列 （並び） の枠外で、『関係』が意味を形成するデータ」の２つがある。

　そのために、コード体系を前提にして entity を認知するＴ字形ＥＲ手法では、関係の論理として関数を使わないで、事業のデータを「並べられるデータ」と「並べられないデータ （並びが論点にならない、という意味）」の２つに類別して、「推論ルール」を使うことにした。「推論ルール」については、後日、述べる。

　本節で述べられている論点は、やや、舌足らずであった。というのは、コッド 関係 モデル が直積集合を使った対象は 「属性値集合」 であって 「主体集合」 ではない。コッド 関係 モデル では、「主体集合」 は、包摂関係として考えられている--包摂関係は、述語論理の 「仮言」 命題に翻訳できる。
　コッド 関係 モデル の直積集合を、TM は、主体集合間で適用している点を、まず、明記すべきだったと思う。

　さて、本節で論点にしたのは、「関係」 の対称性・非対称性である。
　関係の対称性とは、たとえば、2項関係を考えたときに、「恋人である」 という関係を示すことができる。たとえば、「a （佐藤正美） は b （山崎恵美子） の恋人である」 という文は、「b （山崎恵美子） は a （佐藤正美） の恋人である」 という文と同値 （同じ意味） である。つまり、項 （a と b） を入れ替えても、関係は変わらない。しかし、たとえば、「父親である」 という関係を考えたら、「a （佐藤正美） は b （佐藤敦、小生の長男） の父親である」 という文は 「真」 であるが、項 （a と b） を入れ替えた 「b （佐藤敦） は a （佐藤正美） の父親である」 という文は 「偽」 となって、「意味 （真理値）」 がちがう。

　事業過程の データ では、正常営業循環 （購買過程-生産過程-販売過程） のなかで、関係の非対称性を示す性質を帯びた entity と、関係の対称性を示す entity がある。TM では、関係の非対称性を示す entity を 「event」 として、関係の対称性を示す entity を 「resource」 としている。「event」 は、正常営業循環のなかで関係の対称性を示す性質として、「取引日 （できごとが起こった日）」 が帰属する。「resource」 には 「取引日」 は帰属しない。

　TM では、まず、個体が認知される--「合意された認知番号」 を付与された個体が認知される。言い換えれば、TM は、属性値集合を対象にして、関係 モデル を使って主体集合を作るのではなくて、まず、認知番号を付与された個体 （主体集合） を認知する。その個体の構成は、命題論理を前提にしている。
　そのために、関係 モデル を主体集合のあいだに適用することになる。その際に、関係 モデル を数学的な 「関係」 （「並べる」 ということ） として記述するかどうかを本節では論点にした。事業過程を対象にすれば、「並べる」 ということを、前述したように、一律の前提にすることはできない。

　また、TM は、個体 （主体集合） を最初に認知するので、認知できない null を 「個体の性質」 として記述する訳にはいかない。