2001年 5月27日 作成 セット と クラス （定義の違い） >> 目次 （テーマごと）
2006年 8月 1日 補遺 　


以下を仮想する。
ａ１は男である。
ａ２は男である。
ａ３は男である。 		ｂ１は女である。
ｂ２は女である。
ｂ３は女である。 		ｃ１は法人である。
ｃ２は法人である。
ｃ３は法人である。


　▼　顧客番号を identifer にした 「顧客」 entity

　　　　　　　　　┌───────────────────┐
　　　　　　　　　│　　　　　　　　顧　客　　　　　　　Ｒ│
　　　　　　　　　├─────────┬─────────┤
　　　　　　　　　│顧客番号　　　　　│顧客名称　　　　　│
　　　　　　　　　│　　　　　　　　　│個人法人区分コード│
　　　　　　　　　│　　　　　　　　　│性別　　　　　　　│
　　　　　　　　　└─────────┼─────────┘
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　　┌──────┴───────┐
　　　　　　　┌────┴────┐　　　　┌────┴────┐
　　　　　　　│　　　個　人　　　│　　　　│　　　法　人　　　│
　　　　　　　└────┬────┘　　　　└─────────┘
　　　　　┌──────┴───────┐
　　┌──┴──┐　　　　　　　　┌──┴──┐
　　│　　男　　｜　　　　　　　　│　　女　　│
　　└─────┘　　　　　　　　└─────┘


性質ｆ(x)を使って集合を形成する。
ｆ (x) 　性質： 男である　ａ１、ａ２、ａ３
　性質： 女である　ｂ１、ｂ２、ｂ３
　性質： 法人である 　ｃ１、ｃ２、ｃ３

1. クラスの考えかた

　クラス は 「階の関係」 を記述して、「分類する」 という概念である。
　性質 ｆ (x) を使って、「男」 の集合と 「女」 の集合および 「法人」 の集合を形成し、「男」 と 「女」 を使って 「個人」 の集合を形成し、「個人」 と 「法人」 を使って 「顧客」 の集合を形成する。ｆ (x) の論理式を 「内包」 といい、「内包」 を使って正しい 「外延 （集合）」 を形成することを 「周延」 するという。正しい集合を グループ 化して一般化した範疇を形成することを 「分類」 といい、分類された 「類」 を 「クラス」 という。

2. セットの考えかた

　セット は 「包摂関係」 を記述して、「区分する」 という概念である。
　「顧客」 の集合 （セット） を最初に形成して、（区分コードを判断規準にして） 部分集合（サブセット） に区別する。「顧客」 の集合 （セット） は、「個人・法人区分コード」 を使って、「個人」 の部分集合と 「法人 」 の部分集合に区別され、「個人」 の集合は、「性別」 を使って、「男」 の部分集合と 「女」 の部分集合に区別される。

3. 論理和

　クラス 間あるいは サブセット 間には論理積 （AND） は成立しない。
　（「個人かつ法人」 あるいは 「男かつ女」 はいない）。

　クラス 間あるいは サブセット 間は全て論理和 （OR） が成立する。
　（「個人または法人」 あるいは 「男または女」 である）。



以上のように、「クラス」 と 「セット」 は、現象的には、表裏一体の関係にあるが、定義が違う。
クラス （タイプ理論） セット （包摂関係）
G (f)F ⊂ G
f (x) ＝ ｛ａ, ｂ, ｃ｝

G (f) ＝ ｛f｝ ≠ ｛ａ, ｂ, ｃ｝

F ＝ ｛ａ, ｂ, ｃ｝　　

G ＝ ｛ａ, ｂ, ｃ, ｄ｝

前述した例で言うなら、クラス のなかでは、「男」 と 「女」 は 「 個人」 の元ではあるが 「顧客」 の元ではない。


[ 補遺 ] （2006年 8月 1日）

　セット （ZF の公理系） は、「分出公理」 を起点にしているが--すなわち、｛x ∈ a ｜ A (x)｝ の形を集合として [ もう 1つの集合 a を介立して ]、あまりに大きくならない集合 [ a よりも小さい集合 ] を導入しているが--「集合の集合」 を認めている。たとえば、「対の公理」 「和集合の公理」 および 「ベキ 集合の公理」 は、「集合を メンバー とする集合」 を認めている。ただし、それらは、あくまで、「包摂関係」 であって、「階の関係」 ではない。

　「対の公理」 は、2つの集合 （たとえば、a と b） があれば、その 2つの集合を メンバー とする集合 x が存在するということである。すなわち、a と b が集合なら、｛a, b｝ も集合である。ただし、｛a, b｝ は非順序対 （unordered pair） である。もし、a および b を順序対 （ordered pair） として主張するのなら、以下のように考えればよい。

　　（a, b） ＝ ｛｛a, a｝, ｛a, b｝｝.

　「和集合の公理」 は、a にふくまれる集合の和集合 （sum、union）--合併集合--が存在することを主張する。たとえば、a ＝ ｛b, c｝ は、素朴集合論の記述を使えば、∪ a ＝ b ∪ c のことである。

　「ベキ集合の公理」 は、集合 a について、a の部分集合の全体から構成される集合--集合族という--が存在することを主張する。ベキ集合は、2S として記述される。たとえば、敦と剛と大地の 3人がいっしょに遊ぶとすれば、3人 の遊ぶ構成は、以下の 8通りになる [ 23 ]。

　　｛敦、剛、大地｝. ｛敦、剛｝. ｛敦、大地｝. ｛剛、大地｝. ｛敦｝. ｛剛｝. ｛大地｝. ｛φ｝.

　以上から理解できるように、セット のなかで 「集合の集合」 は、「包摂関係」 を示しているのであって、「階の関係 （性質の性質）」 ではない点に注意されたい。
　コッド関係モデルは、ZF の公理系 （セット 概念） を使って形式化されている。

　A (u) を任意の集合論的論理式とする。とすれば、｛u ｜ A (u)｝ の存在は、（分出公理を起点としている） ZF の公理から得られない。 ｛u ｜ A (u)｝ を集合 （セット） と区別して、クラス （class） と云う。

　ちなみに、分出公理は、以下の考えかたを前提にしている。
　集合 X の メンバー x について判断 f (x) があって、真を 「1」 とし、偽を 「0」 として、真理関数 I ＝ ｛0, 1｝ をとれば、f は I への関数と考えることができる。そこで、f (x) ＝ 1 となる メンバー を集めれば集合 [ Y ＝ ｛x ∈ X ｜ f (x) ＝ 1｝ ] になる、という考えかたである。




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