2001年 7月11日 作成 | 複文 と 単文 | >> 目次 (テーマごと) |
2006年 9月16日 補遺 |
「帰納的 (recursive) 定義」 は数学の証明のなかで使われるやりかたである。たとえば、命題論理の論理式は、以下のように帰納的に定義される。
(1) 命題変 項 p, q, r, ...は論理式である。
この帰納的定義は、無限個の文を含む言語にも適用される。 しかし、無限個の文を扱う言語では、量化記号を導入することになるが、量化記号を導入すれば、「複文は単文の合成物である」 ということが成立しないこともある。たとえば、全称記号(∀、「すべての」 という 意味) と存在記号(∃、「いくつか、存在する」 という意味) を併用した以下の文を作る。
(1) ∀x F (x)、すべての x は 性質 F をもつ。 以下の文を作る。 ∀x ∃y [ F (x) ∨ G (y) ]. 文 {∀x ∃y [ F (x) ∨ G (y) ] } は、文 [∀x F (x) ∨ ∃x G (x)] と、全然、構造がちがう。文 {∀x ∃y [ F (x) ∨ G (y)] } は、(文関数に対して量化記号を適用しているので)有限個の単文に解体できない。すべての量化記号が、他のすべての論理式の外側 (冠頭) に置かれている形の術語を 「冠頭標準形」 という。 任意の術語は冠頭標準形として表現することができ、数学の証明のなかで、多々、使われる (*)。たとえば、以下の論理式を証明する。
∃x P (x) ⇒ A = ∀x [ P (x) ⇒ A].(ただし、A は自由変項を含まない。)
量化記号を含んだ文の証明には、一定の証明手続きはない。個々に証明するしかない。
(1) ∀P ¬[ ∀x P (x) ]. |
[ 補遺 ] (2006年 9月16日)
私は、数学の専門家ではないので、いわゆる 「純粋数学」 の 「公準」 を述べることはできないが、数学を応用した 「仮説演繹法」 では、「仮説と判断」 が検討事項となる。すなわち、「仮説-検証」 の モデル は、モノ (現実) と接する最初の段階および最終の段階では、蓋然的推論が適用され、その中間の段階では演繹的推論が適用される。蓋然的推論を 「意味論」 といい、演繹的推論を 「構文論」 といっても良い (拙著 「論理 データベース 論考」 27ページ 参照)。 言い換えれば、蓋然的推論では、「命題 (判断)」 は、たとえば、「真理値表」 を使って、真・偽を検証される。ただし、真理値表を作成するのが数学ではない。前述したように、私は、数学の専門家ではないので、数学全体の構成を述べるほどの知識はないが、少なくとも、数学基礎論 (現代集合論) に限っていえば、以下の領域から構成されると云ってよい。
(1) 証明論 (形式的公理系の無矛盾性を証明する) 「数学の哲学」 が争点になった 20世紀初頭に、ウィーン 学団 (Wiener Kreist) は、ウィトゲンシュタイン の 「論理哲学論考」 を バイブル にして、「検証主義 (検証可能性)」 を謳った。しかしながら、検証可能性は、以下の理由のために、経験的意味規準として妥当でないことを、ヘンペル (Hempel, C.G.)が指摘した。(参考)
(1) 制約が強すぎる。
「制約が強すぎる」 という意味は、全称形式の文--「∀ (すべての)」 を使った文--を排除してしまう、ということである。つまり、一般法則の言明を排除してしまう。また、全称の量化記号と存在の量化記号が構成する文を、経験的に、意味のない言明にしてしまう。たとえば、「すべての物質には、或る溶媒がある」 のような文が、経験的には、意味のない言明になってしまう。 ウィトゲンシュタイン は、(「論理哲学論考」 に示された) 前期哲学から (「哲学探究」 で示された) 後期哲学に移る過程で、一時、ウィーン 学団の主張した 「検証可能性」 を採用したことがあったが、すぐに、その考えかたから離れて、「文法」 を重視した 「言語 ゲーム」 を着想した。 本 エッセーのなかで述べたこと (帰納的関数および量化記号) を TM (T字形 ER手法) は、(「帰納的関数」 を応用した 「再帰」 構造を除いて) 直接、採用していない。ただ、数理 モデル では、「すべての」 という対象を外す訳にはいかないので、本 エッセー では、演繹的推論 (構文論) の前提として、量化記号を説明した。
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