2001年 8月31日 作成 | 「帰属する」 と 「包摂する」 | >> 目次 (テーマごと) |
2006年11月 1日 補遺 |
「帰属する」 と 「包摂する」 は、(集合論では) 以下のように記述する。
(1) 帰属する [ a ∈ A ]. たとえば、以下を仮想する。
a は埼玉県人である。 「埼玉県人である」 という性質を内包 [ f (x) ] とすれば、外延は以下になる。 埼玉県人の集合 (A とする) A = {a, b, c}. 次に、以下を仮想する。
a は日本人である。 「日本人である」 という性質を内包 [ f (x) ] とすれば、外延は以下になる。 日本人の集合 (B とする) B = {a, b, c, d}.
とすれば、日本人の集合は、埼玉県人の集合を包摂する。
A = {a, b, c}. さて、「集合」 を メンバー とみなすことを考えることもできる。たとえば、以下を仮想する。
a は日本国の メンバー (日本人) である。 とすれば、外延は以下のようになる。 日本国の メンバー の集合 {a, b, c}.
次に、国連の メンバー を仮想する。国連の メンバー は (日本国や米国のように) 「国」 である。 f (x) = {a, b, c}. 集合を メンバー とみなせば、f (x) は 「国」 を 「意味」 しているから、国連の メンバー の集合は、f (x) の集合 [ 集合の集合 ] として記述することができる。 国連の メンバー の集合 {f (x)}. つまり、国連の メンバー の集合を F とすれば、以下のようになる。
f (x) = {a, b, c}. ここで注意しなければならない点は、日本人 ( a と b と c ) は、日本国の メンバー ではあるが [ f (x) の メンバー ではあるが ]、国連の メンバー ではない [ F (f) の メンバー ではない ]、という点である。 F (f) = {f (x)} ≠ {a, b, c}.
したがって、「帰属する」 と 「包摂する」 は、厳然と区別されなければならない。 |
[ 補遺 ] (2006年11月 1日)
カントール が、当初、「集合論」 を考えたときには、「集合」 は、以下のように直感的な概念であった。
われわれの直観または思考の対象で、「(所属が) 確定していて、明確に区別される」 もの を 「(所属が) 確定している」 とは、「x ∈ S」 あるいは 「¬ (x ∈ S)」 のことをいい、「明確に区別されている」 とは、「x = y」 あるいは 「x ≠ y」 のことをいう。「(所属が) 確定している」 x を集合 S の エレメント (あるいは、メンバー) といい、エレメント が 1つも帰属しない集合を 「空集合」 といい φ というふうに記述する。また、集合 T が集合 S に包摂されることを 「T は S の部分集合である」 といい 「T ⊆ S」 というふうに記述する。ちなみに、空集合は すべての集合の部分集合である (φ ⊆ A)。 集合を エレメント とする集合のことを 「集合族 (family of sets)」 という。そして、集合 S のすべての部分集合からなる集合族のことを 「ベキ 集合 (power set)」 といい、「2S」 として記述される。たとえば、集合 S のすべての部分集合 (A と B と C) から構成される集合族は、以下の 8つ (28) になる。 {A, B, C} {A, B} {A, C} {B, C} {A} {B} {C} {φ}
ベキ集合 2S にふくまれる集合の個数 (ここでは、8つ)が、集合 S (ここでは、3つ) にふくまれる集合の個数に比べて大きいことに注意してほしい。
(1) 「すべての集合の集合」 U が U 自身をふくむとすれば、2U ⊆ U となる。
これが、いわゆる 「素朴集合論の パラドックス」 である。 しかし、分出公理からは、{a, b} とか a ∪ b とか集合族を導き出すことができないので、ツェルメロ は、ほかの いくつかの ルール を公理化して (基本的に、9つの ルール)、「どういうものを集合というか」 を定義した。それらの公理のなかで、1つの公理を フレンケル が改良したので、この公理系を、Zermelo-Fraenkel の公理系といい、「ZF」 と略称することが多い。ZF の公理系に対して、カントール の集合論を 素朴集合論という。ZF の公理系は、以下の 3点が特徴である。
(1) 等号をふくむ第一階の述語論理を使って形式化されている。 素朴集合論の パラドックス を回避する もう 1つの やりかた は、ラッセル が提示した 「タイプ 理論」 である。タイプ 理論は、以下の点を特徴とする。
(1) モノ は、いくつもの階層 (型) から構成されている (「高階」 の構成)。 (2) タイプ N の関数は タイプ (N − 1) の対象を代入項とする。 すなわち、同じ階からの代入項を認めないので、「x ∈ x」 (自分自身を メンバー とする集合) は無意味となる。 いっぽう、フォン・ノイマン は、記号論理の手法を使って、集合論を いっそう形式化して拡張し、ベルナイス と ゲーデル は、ノイマン の形式化を単純な形に整理した。この形式的に拡張された集合論を Bernays-Godel の集合論といい、「BG」 と略称することが多い。
A (u) を任意の集合論的論理式とする。集合論的論理式とは、∈ (メンバー である) という述語だけを使って作成される論理式のことをいう。{u | A (u)} の存在は、ZF の公理から得られない。{u | A (u)} を集合 (set) と区別して クラス (class) という。 述語論理があつかう変項 P (x) の範囲が個体に限られているなら、「第一階の (first-order) 述語」 といい、変項が個体と論理式の両方を対象にしているなら 「第二階の述語論理」 [ G (F)、関数の関数 ] という。さらに、第三階、第四階...というふうに上位の階を考えることができるが、第二階以上を 「高階」 の述語論理という。 そして、述語論理は集合論に翻訳できる。集合は、つねに、「メンバー と集合」 を単位にして考える。すなわち、第一階の述語は、「個体と集合」 として考えることができるし、第二階の述語は、(集合を メンバー にして、) 「集合の集合」 として考えることができる。したがって、「包摂する」 というのは、階数のあいだの関係であり、「帰属する」 というのは、次数 (メンバー の列挙) を示す。したがって、F (f) = {f (x)} ≠ {a, b, c}。 ちなみに、数学者は クラス 概念を使い、論理学者は セット 概念を使う傾向があるそうです。 |
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