2001年10月15日 作成 | 仮言命題 | >> 目次 (テーマごと) |
2006年12月16日 補遺 |
「p⇒q」 は 「¬p∨q」 と同値である。その理由を以下に述べる。
(1) 「p⇒q」 は 「¬(p ∧¬q)」 と同値である。たとえば、以下を考える。
(2) p⇒q は、「天気が良ければ、野球をする」 になる。 (3) 「p⇒ q」 の真理値表と 「¬(p∧¬q)」 の真理値表を以下に示す。 |
p | q | p⇒q | p∧¬q | ¬(p∧¬q) |
T | T | T | F | T |
T | F | F | T | F |
F | T | T | F | T |
F | F | T | F | T |
以上の真理値表からわかるように、「p⇒q」 の真理値と 「¬(p∧¬p)」 の真理値は同じである。 とすれば、「¬(p∧¬q)」 は、ド・モルガン の法則 (*1) と 「双対の原理」 (*2) から 「¬p∨q」 になる。 とすれば、「p⇒q」 は 「¬p∨q」 と同値になる。□
(*1) ド・モルガン の法則とは、¬(p∧q) ≡ ¬p∨¬q。
論理法則は、∨ (または) と ∧ (かつ) について双対である (置換できる)。 ¬{f(∧, ∨, p, ¬p, q, ¬q,...} ≡ f (∨, ∧, ¬p, p, ¬q, q,...). なお、「p⇒q」 の真理値表において、p が F (偽) のとき、「p⇒q」 が T (真) になるというのは、日常言語の感性から言えば、妙に感じるけれど--前提が間違っているのに結果が正しい、というのは奇妙に感じるけれど--、「前提がいい加減なら、なんでも成立する」 と覚えておけばよい。 |
[ 補遺 ] (2006年12月16日)
前回 (「『空集合』 と仮言命題」のなかで)、「p⇒q ≡ p ∈ q」 であることを述べました。
ちなみに、文中、「p が F (偽) のとき、『p⇒q』 が T (真) になるというのは、日常言語の感性から言えば、妙に感じるけれど--前提が間違っているのに結果が正しい、というのは奇妙に感じるけれど--、『前提がいい加減なら、なんでも成立する』 と覚えておけばよい」 というふうに ザッと言ってしまいましたが、以下に示すように、この真理値表 [(p、q、p⇒q) ≡ (F、T、T)] を作成してみれば、演算手続き上の導出にすぎないことがわかるでしょう。
p⇒qの真理値表 ¬(p∧¬q)の真理値表 ┌──┬──┬───┐ ┌──┬──┬──────────┐ │ p │ q │p⇒q│ │ p │ q │¬(p ∧ ¬ q)│ ├──┼──┼───┤ ├──┼──┼──────────┤ │ T │ T │ T │ │ T │ T │T T F F T │ │ T │ F │ F │ │ T │ F │F T T T F │ │ F │ T │ T │ │ F │ T │T F F F T │ │ F │ F │ T │ │ F │ F │T F F T F │ └──┴──┴───┘ └──┴──┴──────────┘ 1 3 7 2 6 5 4 「¬(p∧¬q)の真理値表」 の下に示した数字 (1、2、3、4、5、6、7) の手順で真偽 (T と F) を確認してみて下さい。すなわち、
(1) p = F. |
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