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2001年12月 2日作成	反証と矛盾	>> 目次（テーマごと）
2007年 2月 1日補遺

　推論とは、正しいと仮定された公理（前提）を使って、べつの正しい定理を導く手続きである。
　推論は、以下の形式を使って記述される。

　　前提　
　　結論　　

　推論の妥当性は、その結論を否定した文と、そのすべての前提の文が矛盾することを示せばよい。
　言い換えれば、その集合のすべてのメンバーが真になることを示せばよい。
　つまり、反証が存在しないことを示せばよい。

　たとえば、以下の推論を例にする。

　　　B ⇒ ￢A
　　￢B ⇒ C　　
　　　A ⇒ C

　この推論の妥当性は、以下の 3つの文から構成される集合の矛盾と同じことである。

　1. B ⇒ ￢A .........[ 前提 ]
　2. ￢B ⇒ C .........[ 前提 ]
　3. ￢ (A ⇒ C) ....[ 結論の否定 ]

　以下に推論過程を示す。

　1. B ⇒ ￢A .........（前提）
　2. ￢B ⇒ C .........（前提）
　3. ￢ (A ⇒ C) ....（結論の否定）
　4. 　　A ...................（3より）
　5. 　￢C .................（3より）

　ここで、以下の同値文を思い出してほしい。
　p ⇒ q ≡ ￢p ∨ q.

　したがって、￢ (A ⇒ C) ≡ ￢ (￢A ∨ C) ≡ ￢￢A ∧ ￢C ≡ A ∧ ￢C.
　これが、上述の 4. および 5. である (*1)。
　さらに、推論を進める。

　1. B ⇒ ￢A .........（前提）
　2. ￢B ⇒ C .........（前提）
　3. ￢ (A ⇒ C) ....（結論の否定）
　4. 　　A ...................（3より）
　5. 　￢C .................（3より）
　6. ￢B　￢A...........（1より） <----- B ⇒ ￢A ≡ ￢B ∨ ￢A

　さて、ここで、6. のなかに記述されている￢A は「矛盾」となる (*2)。推論の過程において、すでに、4. のなかに、A が現れていて、6. のなかに、￢A が現れるということは、A ∧￢A が成立することになって、「矛盾」となる。とすれば、6. のなかに記述されている￢B を検証すればよい。
　さらに、推論を進める。

　1. B ⇒ ￢A .........（前提）
　2. ￢B ⇒ C .........（前提）
　3. ￢ (A ⇒ C) ....（結論の否定）
　4. 　　A ...................（3より）
　5. 　￢C .................（3より）
　6. ￢B　￢A .........（1より）
　7. ￢￢B　C .........（2より） <----- ￢B ⇒ C ≡ ￢￢B ∨ C

　さて、ここで、推論の過程において、すでに、6. のなかに、￢B が現れていて、7. のなかに、￢￢B (≡ B) が現れるということは、￢B ∧ B が成立することになって、「矛盾」となる。

　以上から、1. と 2. と 3. のすべてが同時に「真」となることはないので、文の集合｛ 1, 2, 3 ｝は矛盾している、ということを示している。したがって、当初の以下の文は正しい（無矛盾である）、ということになる。

　　　B ⇒ ￢A
　　￢B ⇒ C　　
　　　A ⇒ C

(*1) （「かつ（∧）」を使って構成される文は、べつべつの行に記述する）。
(*2) （「または（∨）」を使って構成される文は、同じ行に記述する）。□

　

[ 補遺 ] （2007年 2月 1日）

　本エッセーで述べた証明法は、「背理法（reductive absurdum、reductio ad absurdum）」と云われている証明法である。帰謬法とも云われている。背理法とは、或る命題を証明するときに、その命題の「結論が偽である」　と仮定して推論を進めたら、もとの命題の仮定に矛盾することになって、もとの命題の「結論は真である」とする証明法である。たとえば、以下を考えてみる。

　（1）自然数 x, y の積 xy が奇数ならば、x と y は、ともに、奇数である。（命題）
　（2） x か y の少なくともいっぽうが偶数ならば、積 xy は 2で割り切れるので、xy は偶数である。（推論）
　（3） xy が偶数であれば、はじめの命題の仮定に矛盾する。（矛盾）
　　　したがって、x と y は、ともに、奇数でなければならない。

　ちなみに、推論（argument）とは、いくつかの命題から他の命題が導かれる（あるいは、含意される）ことを主張する。そして、前者を「前提」といい、後者を「結論」という。
　1つの推論は、前提がすべて真なら結論も真であるときに限り、「有効である」と云われる。たとえば、

　　　 p ⇒ q
　　　p　　　　
　 ∴ q

　線 ── は、その上の前提から下の結論が導かれるという意味である。
　「∴」は「ゆえに」と読む。

　以下の推論を「三段論法」という。

　　　p ⇒ q
　　　q ⇒ r　　　
　∴ p ⇒ r

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