2002年 1月31日 作成 「すべての」 と 「いくつかの」 >> 目次 (テーマごと)
2007年 4月 1日 補遺  


 
 1. 量化記号

 命題関数は、演算子 (「すべての」 と 「いくつかの (...存在する)」) および論理的否定を使って、(真あるいは偽の) 判断に転化できる。演算子 「すべての」 と演算子 「いくつかの」 のことを量化記号と呼び、以下のように記述する。

 (1) すべての x -----------------> ∀x
 (2) (いくつかの) x が存在する ----> ∃x

 ∀ は all を意味する記号であり、∃ は extistential を意味する記号である。
 ∀x を使って記述された命題を全称命題といい、∃x を使って記述された命題を特称命題 (あるいは、存在命題) という。
 以下に、全称命題と特称命題の例を示す。

 
 1. 全称命題の例

   文章: 敦と剛と大地の 3人が野球をする。

  (1) 記号化

     p1 = 敦は野球をする。
     p2 = 剛は野球をする。
     p3 = 大地は野球をする。

  (2) 記号列 (以上の記号を 「連言」 を使って記述すれば、以下のようになる。)

     p1 ∧ p2 ∧ p3.

  (3) 全称化

  さて、p1 と p2 と p3 のそれぞれの要素命題のなかで使われている個体記号 (1 と 2 と 3) を変数にすれば、以下のように記号化できる。

     px = x は野球をする。

 そして、量化記号を使えば、以下の記述になる。

     ∀xpx (読みかた: すべての x は性質 p をもつ。)

 つまり、連言を使って記述された複合命題と全称命題は同値である。

     p1 ∧ p2 ∧ p3 ≡ ∀xpx.

 
 3. 特称命題の例

   文章: 信号機の指示灯の色は 3色ある。青色か赤色か黄色である。

  (1) 記号化

     p1 = 信号機が青色になっている。
     p2 = 信号機が赤色になっている。
     p3 = 信号機が黄色になっている。

  (2) 記号列 (以上の記号を 「選言」 を使って記述すれば、以下のようになる。)

     p1 ∨ p2 ∨ p3.

  (3) 存在化

  さて、p1 と p2 と p3 のそれぞれの要素命題のなかで使われている個体記号 (1 と 2 と 3) を変数にすれば、以下のように記号化できる。

     px = 信号が x 色になっている。

 そして、量化記号を使えば、以下の記述になる。

     ∃xpx (読みかた: 性質 p をもつ x がいくつか存在する。)

 つまり、選言を使って記述された複合命題と存在命題は同値である。

     p1 ∨ p2 ∨ p3 ≡ ∃xpx.

 
 4. 自由変項と束縛変項

 量化記号を附与された式のなかにある変数を束縛変項 (bound variable) といい、量化記号を附与されていない式のなかにある変数を自由変項 (free variable) という。

 つまり∀xpx あるいは ∃xpx のなかの x は束縛変項であり、px のなかの x は自由変項である。

  (1) ∀xpx (x は束縛変数である)
  (2) ∃xpx (x は束縛変数である)
  (3)   px (x は自由変数である)

 ちなみに、px の自由変数 x のなかに値を代入した命題は (全称命題および存在命題に対して) 単称命題と呼ばれている。たとえば、px において、性質 p を緑色として、自由変数 x のなかに 「この葉」 という値を代入すれば、「この葉は緑色である」 という文章が単称命題である (言い換えれば、変数を使わない命題が単称命題である)。

 次回は、全称命題と存在命題と単称命題の間に成立する関係を扱う。□

 



[ 補遺 ] (2007年 4月 1日)

 「すべての」 と 「いくつか」 は、否定形を注意していなければならないでしょうね。
 「すべての」 の否定形を考えるときに、数学と自然言語とのあいだで、ズレ が起こるので注意しなければならない点です。たとえば、以下の文の意味を考えてみて下さい。

   All of us are not rich.

 いわゆる 「all ... not」 は、全部否定なのか部分否定なのか、という論点です。

  (1) [ 全部否定 ] None of us are rich. (全員が貧乏である)
  (2) [ 部分否定 ] Not all of us are rich. (貧乏なひともいる)

 数学では、部分否定です。
 すなわち、性質 P を 「rich である」 という意味にすれば、¬ { ∀x P (x) } ≡ ∃x ¬ P (x). 言い換えれば、数学では、all of us are not rich を、自然言語の構文で記述すれば、以下のように考えているということでしょうね。

   It is not true that all of us are rich. すなわち、¬ { ∀x P (x) }。

 では、全部否定は、どうなるといえば、∀x ¬ P (x) です。言い換えれば、¬ { ∃x P (x) } です。
 この点 (量化の否定) を、次回、述べます。




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