2002年 2月23日 作成 | 単称化と存在化 | >> 目次 (テーマごと) |
2007年 4月16日 補遺 |
(1) 「全称」 の単称化 ∀xP(x) ⇒ P(x1).
(2) は、(1) と (3) を前提にして、モーダス・ポーネンス から導くことができる。 さて、「全称」 と 「存在」 の論理的否定は、(ド・モルガン の法則を応用すれば) 以下のようになる。
(1) ¬{∀xP(x)} ≡ ∃x¬P(x). 以下に証明する。
¬{∀xP(x)} ≡ ¬(P1∧P2∧P3...∧Pn)
すなわち、「全称」 の否定は 「存在」 になる。
¬{∃xP(x)} ≡ ¬(P1∨P2∨P3...∨Pn)
すなわち、「存在」 の否定は 「全称」 になる。
さて、以上の基本がわかれば、2項関係 (aRb) の量化を扱うことができる。
(1) 営業所の少なくとも 1つには、少なくとも 1人の正社員がいる。
以上の文章が、[ R (a, b) のなかで ] relation を生成したり サブセット を生成したりするために解析されなければならないことは理解できるであろう (後述、「量化の練習問題 (その 2)」 を参照されたい)。 |
[ 補遺 ] (2007年 4月16日)
量化記号を使って、「空集合」 を定義してみましょう。
(1) 「メンバー がいる」 を否定する (「メンバー がいない」 ということ)。
(1) は、量化記号を使えば、∀ x P { ¬ (x ∈ A) } と記述できます。 (2) は、∃ A として、「そういう集合が存在する」 と記述できます。 したがって、(1) と (2) を使えば、以下の表現になります。 φ ≡ ∃ A ∀ x P { ¬ (x ∈ A) }. |
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