| 2002年 3月17日 作成 | 量化の練習問題 （その 1） | >> 目次 （テーマごと） |
| 2007年 5月16日 補遺 | ||
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さて、今回は、量化の練習問題をやってみましょう。 まず、てはじめに、以下の問題 （全称の存在化） からやってみましょう。 （1） 全称の ∀x [ｐ(x) ⇒ ｑ(x)] を （¬ と ∧ を使って） 存在化しなさい。
存在化するということは 「∃」 を使うということだし、¬ を使うということは、全称 「∀」 を ¬ を使って記述すればよいのだから、全称は存在化の否定である （∀x ≡ ¬∃x） ことを思い出せばよい。 ∀x [ｐ(x) ⇒ ｑ(x)] ≡ ¬∃x ¬[ｐ(x) ⇒ ｑ(x)].
さて、ここで、「ｐ ⇒ ｑ ≡ ¬ｐ∨ｑ」 であることを思い出してほしい。 したがって、¬∃x ¬[¬ｐ(x)∨ｑ(x)] ≡ ¬∃x [ｐ(x)∧¬ｐ(x)]. では、次に、以下の問題 （全称の存在化） をやってみましょう。 （2） ¬｛∀x [ｐ(x) ⇒ ¬ｑ(x)]｝ を （∧ を使って） 存在化しなさい。
¬[∀xｐ(x)] ≡ ∃x¬ｐ(x) だから、¬｛∀x[ｐ(x) ⇒ ¬ｑ(x)]｝ は ∃x ¬[ｐ(x) ⇒ ¬ｑ(x)] となる。 したがって、∃x ¬[¬ｐ(x)∨¬ｑ(x)] ≡ ∃x [ｐ(x)∧ｑ(x)]. 今度は、「存在の全称化」 の問題をやってみましょう。 （3） ¬｛∃x [ｐ(x)∧ｑ(x)] を （⇒ を使って）全称化しなさい。
¬[∃xｐ(x)] ≡ ∀x ¬ｐ(x) だから、¬｛∃x [ｐ(x)∧ｑ(x)] は ∀x｛¬[ｐ(x)∧ｑ(x)] となる。 さて、記号の操作に慣れてきましたか。 今度は、日常言語の文章を記号化してみましょう。
（4） 以下の文章を記号化しなさい。 記号化するためには、以下の手順を考えればよいでしょう。
（4）-1. まず、外延 （集合） を記号化することを考えてみるのが コツ です。
（4）-2. そこで、まず、以上の 2つの外延 （集合） を以下のように記号化する。
（4）-3. そして、「SE は記号論理学を体得している」 という表現を、記号化しやすいように変形する。
「SE は記号論理学を体得している」 は 「SE である人々ならば記号論理学を体得している人々である」となる。
さらに、「すべての」 という全称が使われているので、記号を使って記述すれば、以下のようになる。
ついでに、この練習問題を使って、「全称の存在化」 をやってみましょう。 ¬｛∀x [ｐ(x) ⇒ ｑ(x)]｝ ≡ ∃x ¬[ｐ(x) ⇒ ｑ(x)] ≡ ∃¬[¬ｐ(x)∨ｑ(x)] ≡ ∃x [ｐ(x)∧¬ｑ(x)].
できましたか。では、記号列の ∃x [ｐ(x)∧¬ｑ(x)] を文章に直してみましょう。
この （論理式臭い） 文章を普通の文章にすれば、以下のようになる。
次回も、量化の練習問題をやってみましょう。 |
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[ 補遺 ] （2007年 5月16日）
われわれ 「数学の シロート」 が、こういう 「量化の数式」 を演算することは、ふだん、まず、ないと思うのですが、少なくとも、「∀」 と 「∃」 を つねに意識するようにしたいですね。ふだんの生活のなかで、「みんな そう言っている」 というような言いかたを聞くたびに、私は、うんざりします。そういう言いかたに対しては、ときどき、皮肉を込めて、「『みんな』 というのは、10人ですか、100人ですか、一億人ですか」 と応えることもあります。そういうふうに応えると、「屁理屈を言う」 というふうに非難されますが、私にしてみれば、いっきょに普遍化してしまう 「ずさんな」 思考のほうが怖ろしいと思います。 さて、「∀」 と 「∃」 は、TM でも、entity 間の射で検討項目としています。セット （集合） のあいだで 「1-対-1」 の対応を考えたときに、（メンバーのあいだに起こる関係が） 「全射か単射か双射か」 という点は検討されなければならない。
┌─────────────────┐ ┌─────────────────┐ │ 従業員 Ｒ│ │ 部門 Ｒ│ ├────────┬────────┤ ├────────┬────────┤ │従業員番号 │従業員名称 │ │部門コード │部門名称 │ │ │ │＞──○─○┼┤ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────┴────────┘ │ └────────┴────────┘ │ │ ┌────────┴────────┐ │ 従業員. 部門. 対照表 │ ├────────┬────────┤ │従業員番号(R) │ │ │部門コード(R) │ │ │ │ │ └────────┴────────┘ この例では、全射ですが、「部門に配属されていない従業員」 がいることを示しています。すなわち、「リレーションシップ の ゼロ の cardinality」 が その事態を示しています。したがって、対照表として記述される外延を正確に記述すれば、以下の 「構造」 になります。
┌─────────────────┐ ┌─────────────────┐ │ 従業員 Ｒ│ │ 部門 Ｒ│ ├────────┬────────┤ ├────────┬────────┤ │従業員番号 │従業員名称 │ │部門コード │部門名称 │ │ │ │＞──○─○┼┤ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────┴────────┘ │ └────────┴────────┘ │ │ ┌────────┴────────┐ │ 従業員. 部門. 対照表 │ ├────────┬────────┤ │従業員番号(R) │ │ │部門コード(R) │ │ │ │ │ └────────┼────────┘ ｜ × null （部門コード） ｜ ┌───────────┴───────────┐ ｜ ｜ ┌────────┴────────┐ ┌────────┴────────┐ │ 配 属 │ │ 非配属 │ ├────────┬────────┤ ├────────┬────────┤ │従業員番号(R) │ │ │従業員番号(R) │ │ │部門コード(R) │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────┴────────┘ └────────┴────────┘ さらに、entity のあいだの対応関係では、「多値」 を検討しなければならない。たとえば、以下を考えてみます。
┌─────────────────┐ ┌─────────────────┐ │ 営業所 Ｒ│ │ 契 約 Ｅ│ ├────────┬────────┤ ├────────┬────────┤ │営業所コード │営業所名称 │ │契約書番号 │契約日 │ │ │ ├┼───＜│営業所コード(R) │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────┴────────┘ └────────┴────────┘
この例では、「すべての」 契約書は、かならず、どれかの営業所に対応しています。
┌─────────────────┐ ┌─────────────────┐ │ 営業所 Ｒ│ │ 契 約 Ｅ│ ├────────┬────────┤ ├────────┬────────┤ │営業所コード │営業所名称 │ │契約書番号 │契約日 │ │ │ │＞───＜│営業所コード(R) │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────┴────────┘ └────────┴────────┘ すなわち、1つの契約に対して 「複数の」 営業所が関与することがあるかどうかを検討しなければならない。もし、そういう事態が起こるのであれば、「構造」 は、「多値」 を考慮して、以下のようになります。
┌─────────────────┐ ┌─────────────────┐ │ 営業所 Ｒ│ │ 契 約 Ｅ│ ├────────┬────────┤ ├────────┬────────┤ │営業所コード │営業所名称 │ │契約書番号 │契約日 │ │ │ │＞───＜│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────┴────────┘ └────────┼────────┘ ┼ │ ∧ ┌─────────────────┐ │ 契約. 営業所種別 ＭＡ│ ├────────┬────────┤ │契約書番号(R) │ │ │営業所コード(R) │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────┴────────┘ ちなみに、図中、「MA」 は、「Multi-value AND」 の意味です。 |
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