2002年 4月30日 作成 | 関係の論理 | >> 目次 (テーマごと) |
2007年 7月 1日 補遺 |
関係の論理を扱うときに、以下の関係を覚えておけばよいでしょう。
(1) 汎関係と零関係
反射性・対照性・移行性については、前回 (4月14日、116ページ)、説明しました。
(1) 反射性 ∀x R (x, x). 関係 「aRb」 は多項述語論理 (2項述語論理) である。多項述語論理が単項述語論理とちがう点は、全称演算子と存在演算子の コンビネーション を生成できる、という点にある。まず、以下の基本的な記述を最初に習得してほしい。
(1) 関係の包摂 (⊂)
1つの関係は他の関係に含まれることがある (R ⊂ S)。 R ⊂ S ≡ ∀x ∀y [ R (x, y) ⇒ S (x, y) ]. [ 注意 ] 以上の説明において、「⊂(ふくむ)」 は 「∈ (メンバー である)」 と同義である、と思っていただきたい。 この式は、「2つの モノ (x, y) の間に関係 R が成立しているとき、(そして、そのときに限り) 常に これらの モノ の間には関係 S も成立する」 ということを記述している。 2つの関係 (関係 R と関係 S) のうち少なくとも 1つが成立する、ということは以下のように記述される。 R ∪ S ≡ ∀x ∀y [ R (x, y) ∨ S (x, y) ]. 2つの関係 (関係 R と関係 S) の間に共通集合を生成することもできる。 R ∩ S ≡ ∀x ∀y [ R (x, y) ∧ S (x, y) ]. 関係の否定は、以下のように記述することは、前回 (4月14日、116ページ)、述べた。 ¬R (x, y) ≡ R’ (x, y). 以上の基本的な記述を習得したら、いよいよ、以下の関係の論理を扱いましょう。
(1) 汎関係 汎関係は以下のように記述できる。 R ∪ R’. これは述語論理を使って以下のように記述できる。 R ∪ R’ ≡ ∀x ∀y [ R (x, y) ∨ R’ (x, y) ]. 零関係は以下のように記述できる。 R ∩ R’. 零関係は汎関係を使って記述できる。零関係は 「汎関係の論理的否定」 のことである。 ¬ (R ∪ R’) ≡ R’∩ R ≡ R ∩ R’. 述語論理を使って記述すれば以下のようになる。 ∀x ∀y [ R (x, y) ∨ R’ (x, y) ] ≡ ¬{∃x ∃y [ R (x, y) ∧R’(x, y) ] }.
逆関係は「逆関数」のことである。 2つの関係 (関係 R と関係 S) において、∃u [ R (x, u) ∧ S (u, y) ] が成立するなら、関係 R と関係 S を連鎖という。 ∀x ∀y ∃u [ R (x, u) ∧ S (u, y) ]. たとえば、R (x, u) を 「佐藤敦は佐藤剛と兄弟である」 として、S (u, y) を 「佐藤剛は佐藤正美の子である」 とすれば、関係 R と関係 S の連鎖 ∀x ∀y ∃u [ R (x, u) ∧ S (u, y) ] は 「佐藤敦は佐藤正美の子である」 ということになる。
遺伝という概念は フレーゲ (Frege, G.) が完成した。 Erbl (P, R) ≡ def ∀x ∀y { P (x) ∧ [ R (x, y) ⇒ P (y) ] }. [ 注意 ] def は definition の省略形である。すなわち、「このように定義する」 という意味である。
さて、次回は、以上の関係の論理と前回の記述 (反射性・対称性・移行性) を前提にして、以下の点を扱う。 |
[ 補遺 ] (2007年 7月 1日)
「性質 f (x)」 は、「関係 f (x, y)」 の特殊な形 [ すなわち、関数 ] と思って良い。
(1) 一般に、xy 平面上で部分集合 M があれば、x と y とのあいだの 1つの関係として考えて、M を x と y の
(2) 一般に、集合 A と集合 B があって、x を A の変量とし、y を B の変量とすれば、直積 A × B の部分集合
(3) 関係 M が与えられたとき、x の任意の値 x0 に対して、x = x0 と M との共通部分が つねに 1点だけで
関係 M 関数 y y | * ** | ・ | ***** | | ・ | **M** | ・・ | **** | ・| ─┼──────── x ─┼──┼───── x 0 ** 0 x0 * 逆関数は、x の関数 y = f (x) が与えられたときに、y の それぞれの値に対応して x の値が定まる関数のことをいい、x = g (y) あるいは y = f−1(x) と表わす。たとえば、女の集合 A と男の集合 B があって、直積 A × B の部分集合 M を 「夫婦である」 とすれば、x が 「佐藤恵美子」 であれば、関数 y = f (x) は、「佐藤恵美子は佐藤正美の妻である (佐藤恵美子が妻であれば、その夫は佐藤正美である)」 ことを示しているが、 逆関数であれば、x = g (y) なので--あるいは、y = f−1(x) --、「佐藤正美は佐藤恵美子の夫である (佐藤正美が夫であれば、その妻は佐藤恵美子である)」 を示している。 |
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