本 エッセー は、同値関係について、数学的に説明しているので、実際の仕事には関係がないと思われるかもしれないけれど、同値関係は、論理的思考の根底になっている考えかたです。歴史的に観れば、カントール が 「集合 （濃度）」 概念を導入する以前にも、数学 （論理的思考） は存在していました。ただ、ヒルベルト が 「なんぴとたりとも、カントール が創設してくれた楽園から、我々を放逐することはできない」 と言ったように、集合論は、次第に整えられて、ロジック （論理学） と相互作用しながら、数学のひとつの分野になって、いわゆる 「数学基礎論」 を形成しました。「数学基礎論」 には、以下の 4つの領域があると云われています。

　　（1） 証明論 （形式的公理系の無矛盾性を証明する）
　　（2） モデル の理論 （形式的公理系の解釈を扱う）
　　（3） 帰納的関数の理論 （計算可能関数を扱う）
　　（4） 公理的集合論 （集合論を形式的公理系として扱う）

　「数学基礎論」 は、数学の 1つの分野であって、数学の すべて を包括する メタ 数学ではない。数学の専門家は、それぞれ、多様な数学を研究なさっていらっしゃいます。ただ、われわれ 数学の シロート が論理的思考を養うのであれば、「論理と集合」 を学習することになるので、「数学基礎論」 を、まず、学習することが役立つでしょう。

　さて、本 エッセー のなかで、同値関係を前提にして 「類別」 を記述しています。「類別」 について、簡単に、数学的な説明をしていますが、「類別」 は、われわれが 「概念」 を整理するために、とても大切な技術です。

　「同値」 を数学的正確性を犠牲にして簡単に記述すれば、「論理的に等しい」 という意味です。だから、「同値」 である メンバー から構成された集合を前提にすれば、ひとつの集合のなかから、「任意の」 メンバー を選ぶことができるのです。また、ひとつの集合のなかで、「同値」 な メンバー どうしを 1つの 「組」 にまとめることができますし、ひとつの集合を いくつかの 「組」 に分けることができます--言い換えれば、ひとつの集合を分割して、細分できます [ 本 ホームページ 「分割と細分」 参照、432 ページ ]。このとき、同値律に従えば、それぞれの 「組」 には、共通にふくまれる メンバー は存在しないし、（同値律の） 反射律のよれば、それそれの メンバー は、かならず、どれかの 「組」 に入るから、メンバー 全体が完全に組み分けされます。それぞれの 「組」 を 「類」 と云い、組み分けすることを 「類別」 と云います。「セット」 という用語を使えば、「類別」 は、「セット と サブセット」 という同値関係です。そして、この考えかたを、TM （Ｔ字形 ER手法） は、「データ の周延」 のなかで使っています。「分割と細分」 を、TM 風に記述すれば、以下の記述になります。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┌─────┐
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　│　　　　　│
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　└──┬──┘
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　　　　　　　　　　　　分割　　　┌──┴──┐　┌──┴──┐
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　　　　　　　　　　│　　　　　　└──┬──┘　└─────┘
　　　　　　　　細分│　　　　　　　　　│
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　同値関係は、ふつう、「〜」 という記号を使って記述します。同値関係は、数学のそれぞれの領域で、いろいろな形で現れます。たとえば、図形の集合のなかで、2つの図形が 「合同」 であるという関係とか、2つの図形が 「相似」 であるという関係は、いずれも、同値関係です。

　「濃度」 は、「基数 （カージナル 数）」 とも云います。自然数の体系 N は、無限集合ですが、それぞれの自然数は、有限の濃度を表します。というのは、それぞれの自然数を集合的に記述することができるので。
　「数」 を 「基数」 と 「序数」 という概念として考えれば、「ペアノ の公理」 は 「序数」 の性質を重視していますね。いっぽう、「基数」 の性質を応用して、0 を空集合 φ として考えて、自然数を集合論的に構成することもできます。

　　　　　0 ＝ φ.
　　　　　1 ＝ ｛φ｝.
　　　　　2 ＝ ｛φ, ｛φ｝｝ ＝ ｛0, 1｝.

　したがって、

　　　　　0 ＝ |φ|.
　　　　　1 ＝ |｛φ｝|.
　　　　　2 ＝ |｛φ, ｛φ｝｝| .