本 エッセー の テーマ は、「原始帰納的関数」 です。ただ、本文中、「解釈」 という ことば に対して、あえて、「　」 を付与しているのは、「解釈 （あるいは、理解）」 という行為が、「哲学上」、争点になることを示すためです。

　哲学上、「解釈学 （Hermeneutik）」 という領域があるそうです （「岩波 哲学・思想 事典」、205ページ）。この領域では、ディルタイ （W. Dilthey） 氏・ハイデガー （M. Heidegger） 氏・ガダマー （HG. Gadamer） 氏が思想系譜になるそうです。

　ディルタイ 氏は、シュライアーマッハー （F.E.D. Schleiermacher） 氏の考えかたを継承して、「理解 （あるいは、解釈）」 を精神科学に固有な現象とみなして、理解の対象を （文献 [ 言語的記述 ] のみにかぎらず、） あらゆる種類の 「表現」 に拡大して、「解釈学」 を 「理解の理論」 として 「精神科学の方法論」 とみなしました。

　ハイデガー 氏の考えかたは、キルケゴール （S. Kierkegaard） 氏・フッサール （E. Husserl） 氏の考えかたを継承して、「事象 （ことがら） そのものへ」 という モチーフ を中核にして、「現象学的解釈学 （あるいは、解釈学的現象学）」 とよばれています。

　ガダマー 氏の考えかたは、ハイデガー 氏の考えかたにもとづいて、「理解」 を 「人間の一つの認識様式ではなくて、人間の基本的な存在様式 （人間の世界経験と生活実践の全体）」 とみなしていて、「哲学的解釈学」 とよばれています。

　「解釈」 に関する説は、様々、提示されてきましたが、いずれにしても、「解釈学」 の基本的 モチーフ は、以下の点にあるようです。

　　（1） われわれの知識・規範は、歴史的に形成された共通の意味を前提にして成立している。
　　（2） 歴史的な事実性・有限性が、解放性・創造性の源である。

　そういう視点から観れば、ウィトゲンシュタイン 氏の後期哲学 「言語 ゲーム」 説も 「解釈学的」 と云われるのでしょうね。数学が 「記号」 を扱う学問であっても、「解釈学」 の （1） を免れる訳ではないでしょうね。この点を ウィトゲンシュタイン 氏は、「哲学探究」 のなかで、争点にしていました。「解釈」 に関する哲学は、この辺で止めます--興味を抱いたひとは、ここに述べた哲学者たちの著作を読んで下さい。

　さて、「帰納的関数」 は、われわれ シロート には、なかなか、理解しにくい概念です。「帰納的関数」 として、いくつもの関数が定義されています （本 ホームページ の 168 ページ を参照して下さい）。私は システム・エンジニア なので、それらの関数のなかで、、チューリング 氏が示した 「Turing 機械」 を使った 「計算可能な関数」 概念を理解しやすかった。それぞれの 「帰納的関数」 を説明することは避けて--それぞれの 「帰納的関数」 を詳細に説明できるほどの数学的知識は、私にはないので、それらのなかから、--、ゲーデル 氏が示した 「原始帰納的関数」 と チューリング・マシーン を念頭に置いて、「帰納的関数の考えかた」 を以下に説明します。

　まず、「数論的関数 （number-theoretic function）」 という概念を覚えて下さい。「数論的関数」 とは、自然数 { 0, 1, 2, ... } の上で定義され、自然数の値をとる関数のことを云います。ゲーデル 氏は、この関数 （原始帰納的関数） を使って、「メタ 数学の算術化」 という技術を考え出しました。「メタ 数学」 というのは、ヒルベルト 氏が、「数学の 『無矛盾性』 を有限的手続きで証明するために」 考えた概念ですが、ゲーデル 氏は、「数論的関数」 を使って、「算術的体系が無矛盾であっても、完全ではない」 ことを証明しました。すなわち、「メタ 数学」 のなかでおこなわれる有限的手続きを 「数論的」 に--「数論的関数」 として--記述することができる、ということを ゲーデル 氏は示しました。この技術が、いわゆる 「不完全性定理」 の証明のなかで使われました。ゲーデル 氏の 「不完全性定理」 （のなかで使われた 「帰納的関数」） が起点になって、「『有限手続き』 とはなにか」 言い換えれば 「『実際に計算可能な』 ということは、どういうことか （『アルゴリズム』 とは、どういうことか）」 を、「数論的関数」 を使って数学的に定式化することが検討されました。そして、本 ホームページ の 168 ページ に示した様々な 「計算可能な関数」 が提示されました。それらの 「計算可能な関数」 は、いずれも、同値であることが証明されています。この 「計算可能な関数」 の延長線上で、コンピュータ （計算機） が実現されました。

　これらの 「帰納的関数」 が、どうして、重視されるのかと言えば、「数学的帰納法」 の基礎となるからです。すなわち、「数学的証明」 の役立つ手段になるからです。というのは、「自然数 n をふくむ或る命題 P (n) が、『すべての』 自然数 n について 『真』 である」 ことを主張するには、以下の 2つのことを証明すれば良いのです。この証明法を 「数学的帰納法」 と云います。

　（1） P (1) は、「真」 である。
　（2） P (k) が 「真」 であると仮定すれば--これが 「帰納法の仮定」 ですが--、P (k ＋ 1) も 「真」 である。
　　　（ただし、k は、任意な自然数とします。）

　この 「数学的帰納法」 は、「ペアノ の公理系」 の第五番目にもとづいています。「ペアノ の公理系」 の第五番目は、以下の公理です。

　　　　S が自然数全体の集合の 或る部分集合であるとして、（�@） 1 ∈ S、（�A） x ∈ S ならば、かならず、
　　　　x^＋ ∈ S である--「＋」 は後続を示して、x に対して、x^＋が一つ、しかも、ただ一つ （one and only）
　　　　対応することを意味しています。この 2つの条件を満たせば、S は自然数全体の集合である。

　さて、ゲーデル 氏は、「PM や、その関連体系での形式的に決定不能な命題について」 という論文--この論文が、いわゆる 「不完全性定理」 とよばれていますが--で、「PM の公理系」 と 「ペアノ の公理系」 を前提にして、「形式的体系を原始記号の有限列として扱い、それらの原始記号に対して自然数 （ゲーデル 数） を対応して、PM の体系のなかに、自然数として扱うことができるけれども、PM のなかで 『証明できない』 式を作ることができる」 ことを証明しました。この論文のなかで、かれは、40数個ほどの 「帰納的関数」 を定義しています。この論文が、「計算可能関数」 を導く契機となりました。ゲーデル 氏は、「計算可能関数」 のことを 「アルゴリズム が存在する関数」 のこととしています。「アルゴリズム が存在する」 こととは、単純に言えば、いわゆる 「決定問題」 のことです。
　したがって、この 「帰納的関数」 が、「証明」 や 「モデル」 に対して、大切な役割を演じていることが理解できるでしょう。「数学的帰納法」 の証明法を 1つ示してみましょう。たとえば、すべての自然数 n について、P (n) で-- P は、「そういう性質がある」 という述語だと思って下さい--、「1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ ... ＋ (2n − 1) ＝ n² が成立することを証明してみましょう。

　（1） P (1) では、1 ＝ 1² は、明らかに 「真」 です。
　（2） P (k) では、1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ ... ＋ (2k − 1) ＝ k² が 「真」 であると仮定します。

　そして、「2k ＋ 1」 を両辺に加えます。
　1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ ... ＋ (2k − 1) ＋ { 2 (k ＋ 1) − 1 } ＝ k² ＋ 2k ＋ 1 ＝ (k ＋ 1)².

　この証明は、P (k ＋ 1) が成立することを示しています。
　したがって、P (n) は、すべての自然数 n についても、つねに、成立します。

　ちなみに、ウィトゲンシュタイン 氏は、ゲーデル 氏の 「不完全性定理」 （の証明法） に関して、以下のように述べています。