2002年11月 1日 作成 | ゲーデル の不完全性定理 | >> 目次 (テーマ ごと) |
2007年12月16日 補遺 |
形式的言語 L のなかで自然数 n を考え、Sn0は、記号 0 の前に S を n 個、置いた記述である、とする。 (1) ω-完全 「ω-完全」 とは、L の式 A (x) があれば、タイプ N において、以下が成立することをいう。
任意の自然数 n について、A (Sn0) は、N において トートロジー ならば、 (2) ω-無矛盾 「ω-無矛盾」 とは、形式的言語 L の式 A (x) において、以下が成立することをいう。
任意の自然数 n について、A (Sn0) は、N において証明可能ならば、 不完全性定理 (1931年) の正式名称は、「『プリンシピア・マセマティカ』 や、その関連体系の形式的に決定不可能な命題について」 という。不完全性定理は、以下のように 2つの 「解釈 (意味論および構文論)」 が成立する。 (1) 意味論 形式的言語 L が無矛盾であれば、L のなかの式について、どのような ω-完全な モデル においても真であるのに、L のなかでは証明できない式がある。 (2) 構文論 L が ω-無矛盾であれば、L のなかの式 G について、G も ¬G も L のなかでは証明できない。 G も ¬G も証明できないなら、L において 「決定不能」 である、という。
以下に記述する手順は、ゲーデル の論文のなかで、論文の最初に記述されている 「証明の概観」 を、若干、変更している。なお、ゲーデル の原文は、以下の文献を参照した。 (1) 形式的体系は原始記号の有限列である。証明も、形式的な見かたをすれば、論理式の有限列である。
(2) 原始記号に対して自然数を対応する。 (3) 論理式は自然数の有限列になる。証明は 「『自然数の有限列』 の有限列」 になる。
(4) PM のなかに、1つの自由変数 v をもつ論理式 F (v) を作る。
(5) PM のなかに、A も ¬A も証明できない命題 A を作る。 (6) a を任意の単項述語記号とする。
(7) [ a; n ] を考える。
(8) 自然数の集合 K を定義する。 (9) K も PM のなかに作ることができる。
(10) 論理式 [ S; n ] を考える。 さて、以上の前提を整えたならば--以上の 「着想」 は、到底、われわれ凡人には思い浮かぶことができないし、ゲーデル が、以上の 「着想」 を整えることができたから、天才といわれる所以である(!)--、証明自体は、以下のように単純明快である。
(11) [ R (q); q ] が証明可能なら 「真」 となる。 (12) ¬[ R (q); q ] が証明可能なら-- 「¬(q ∈ K) 」 となるから--、Bew[ R (q); q ] が成立する (前提に反する)。 したがって、[ R (q); q ] は PM において決定不能である。
ゲーデル の不完全性定理が公にされたのは 1931年である。
小生 (佐藤正美) は数学の門外漢なので、ゲーデル 以後の証明を、すべて、知っている訳ではない。 代入関数をもつ整合的な理論では、真理関数は存在しない。 さて、タルスキー の証明については、「読書案内」 のなかで紹介した文献を読んでください。
小生は、ゲーデル の (不完全性定理の) 論文を読み返すたびに、天才の 「着想」 に対して敬意を抱き、ただただ、(天才の ゲーデル に対する) 驚嘆と (振り返って、凡夫の我が身に対する) 溜息が出るばかりである、、、。□ |
[ 補遺 ] (2007年12月16日)
(以下の文は、本 ホームページ 「『論理 データベース 論考』 を読む」 の 「文献編第 14章 『ゲーデル を読むために』」 で綴った文のなかから転載しました。) ゲーデル 氏は、いわゆる 「不完全性定理」 として、「適当な条件の下で構成された--言い換えれば、算術化された--無矛盾な形式的体系には、かならず、その体系のなかで、『決定不能な』 命題が存在する」 ことを証明しました。つまり、真とも偽とも証明されないような命題が存在するのです。 タルスキー 氏は、「『真理』 は、ひとつの言語体系のなかで定義できないので、ほかの言語として--『対象言語』 に対する言語として、クラス 算のような--『メタ 言語』 を導入する」 ことを示しました。ラッセル 氏流の タイプ理論で云うなら、タイプ n の充足関係は、タイプ 「n − 1」 が対象になるということです。 ゲーデル 氏は、「不完全性定理」 を証明する前に、「完全性定理」 を証明しています。「完全性定理」 は、「無矛盾な第一階理論は モデル をもつ」 という証明です。「モデル が存在する」 ということは、「証明可能性」 のことです。そして、ゲーデル 氏は、(「完全性定理」 で導入した) 「証明可能性」 を使って、「不完全性定理」 を証明しました。すなわち、純粋に数学的な接近法を使ったのですが、前述した (タルスキー 氏の) 「定義不可能性」--「証明可能性」 とは逆の着想になるのでしょうが--を使って、「不完全性定理 = 定義不可能性 + 算術化された完全性定理」 として証明することもできるそうです。通俗的に言えば、「不完全性定理 = パラドックス + 算術化された完全性定理」 ということです。ウィトゲンシュタイン 氏は、ゲーデル 氏の 「不完全性定理」 に関して、この意味論的な着想に気づいていたようです。ウィトゲンシュタイン 氏は、「不完全性定理」 を 「無意味」 としています。ゲーデル 氏は、(「不完全性定理」 に対する ウィトゲンシュタイン 氏の 意見に関してして、) 以下のように言っています。
かれ (ウィトゲンシュタイン) は、この定理を一種の論理的 パラドックス と解釈していますが、 ウィトゲンシュタイン 氏の使った 「無意味」 という用語が、原語では、どういう語であるかを調べなければならないのですが--「無意味」 という意味が、「現実的事態と対応する語-言語ではない」 という意味なのかどうかを調べなければならないのですが (ただし、私は調べていない)--、かれの著作 「数学の基礎」 には、以下の文が綴られています。
いかに奇妙に思われようとも、ゲーデル の不完全性定理に関する私の課題は、ただ単に、 ウィトゲンシュタイン 氏は、「言語 ゲーム」 のなかで、証明に関して、以下の考えかたをもっていました。
(1) 物理的対応と数学的対応との違いは、実験と計算の違いと同型である。 ウィトゲンシュタイン 氏は、あきらかに、「不完全性定理」 を 「言語 ゲーム」 のなかで見極めようとしていますね。 さて、本 エッセー のなかで記載した書物を読んで、ゲーデル 氏の 「完全性定理」 「不完全性定理」 を、もっと、学習したいと思ったならば、以下の書物を読んで下さい。 ● 「ゲーデル と 20世紀の論理学 (1 〜 4)」、田中一之 編、東京大学出版会。 2006年・2007年に出版された 4分冊です。私は、(1) から (3) を読みましたが、まだ、(4) を購入していない。 |
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