数学上の 「完全性」 は、「意味論的な 『恒真』 が構文論的な 『証明可能性』 と同値である」 ことを云います──このことを 「完全性定理」 と云います。厳密に言えば、「完全性」 と 「健全性」 という ふたつの概念があるのですが、それらを説明するために、以下の概念を まず定義しておきます。

　（1） 「意味論的に帰結する」
　（2） 「構文論的に帰結する」

　「意味論的に帰結する」 というのは、論理式の集合 Τ に帰属する すべての式を真とするような 「解釈」 において、或る式 φ も真とされるなら、φ は Τ から帰結するということです。すなわち、「意味論的に帰結する」 というのは 「解釈」 上の概念です。
　「構文論的に帰結する」 というのは、Τ に帰属する式と或る式 φ が ロジック （命題論理あるいは述語論理） の公理系 P としたときに、P の公理と Τ の式から φ を導き出すことができるならば、φ は Τ から帰結するということです。すなわち、「構文論的に帰結する」 というのは、φ は Τ から演繹的に式変形で証明されるということです。

　さて、「（1） → （2）」 を 「完全性」 と云い、「（2） → （1）」 を 「健全性」 と云います。そして、それらの それぞれの外延が一致したとき、「妥当な推論」 と云います。「完全性」 と 「健全性」 をいっしょにして、単に 「完全性」 と云うことが多いようです。或る公理系 P に関して、「完全性」 と 「健全性」 を証明する手続きが 「完全性証明」 と云われ、証明された定理を 「完全性定理」 と云います。

　恒真命題 （トートロジー）──たとえば、無矛盾な 「定理」── を、「解釈」 上、真とすれば、意味論的な 「恒真」 が構文論的な 「証明可能性」 と同値になることは、なんとなく直観的に感じられるのですが、きちんと証明するとなれば、なかなか難しい手続きになります──命題論理の完全性は、1921年に ポスト 氏が証明し、述語論理 （第一階の述語論理） の完全性は 1930年に ゲーデル 氏が証明しました。

　「完全性」 と 「健全性」 を （恒真命題ではなくて、） 現実的事態──現実的事態を自然言語で記述した文──に適用したときに争点になるのが、「（1） → （2）」 の手続きです。すなわち、恒真命題のように論理式の集合 Τ に帰属する すべての式を真とするような 「解釈」 が存在しないという点が、現実的事態を対象にして モデル を構成するときに遭遇する難点です。ウィトゲンシュタイン 氏は、当初、「複合命題と要素命題」 という概念を使って、現実的事態にも 「完全性」 が成立すると考えていました （かれの 「論理哲学論考」 が それを語っています）。しかし、かれは、「要素命題」 を 「完全な文」 として考えていて、「理想的な人工言語」 を前提にして考えていました。かれは、後に、この考えかたには無理があることに気づいて──たとえば、「要素命題」 の前提など──、自然言語を前提にして 「意味」 の現れかたを考え直しました （かれの 「哲学探究」 が それを記しています）。自然言語を前提にすれば、自然言語は 「使いかた」 のなかで 「意味」 が現れます──そして、この 「使いかた」 のなかで現れる 「意味」 が どのようにして 「解釈」 されるのかを丁寧に検討したのが 「哲学探究」 です。かれは、「哲学探究」 のなかで、「（語の） 意味」 は生活様式を前提にした 「合意」 のうえで伝達されることを 「言語 ゲーム」 という概念で示しました。

　さて、自然言語を対象にして モデル を構成する際に、構文論的な 「健全性」 （「（2） → （1）」） は　モデル であるかぎり実現しなければならないし──文法 (推論規則） に従うかぎり実現できるのですが──、争点になるのは 「完全性」 （「（1） → （2）」） です。恒真命題と同じ接近法を適用することは、上述したように、できない。そのために私が導入した やりかた は、ウィトゲンシュタイン 氏の後期哲学 （「哲学探究」） の考えかたを前提にして、モデル 作成の手続きを以下のように整える やりかた でした。

　　　「合意」 された認知 → 「L-真」 の構成 → 「F-真」 の験証