ラッセルが提示した「集合論のパラドックス 」は、「自己自身を要素（「元」とも云う）とする集合」が存在するか（Ｗ∈Ｗ）、という論点であった。「存在する」としても、「存在しない」としても、いずれも、矛盾する帰結が演繹されることになる [ つまり、（Ｗ∈Ｗ）⇒¬（Ｗ∈Ｗ）、 逆に、 ¬（Ｗ∈Ｗ）⇒（Ｗ∈Ｗ）。]（*2）。

　そのために、「全ての集合の集合（つまり、「集合の全体」）」のような、あまりに巨大な集合を「集合」として扱う訳にはいかなくなった。そこで、「あまりに巨大な集合」を作らないように、｛ｘ｜ｆ(x)｝の替わりに、（対象の範囲を限定して）｛ｘ∈ａ｜ｆ(x)｝という形の集合が導入された（「ｘ∈ａ」が範囲を限定している）。この「範囲を限定した」集合の考え方を「分出公理」と云う。
　しかし、分出公理を基礎にすれば、「無限」を扱うことができないので、そのほかに、「無限の公理」など、他のいくつかのルールを附加して体系化された公理系（「公理的集合論」）を提示した人物が、 ツェルメロ（Zermelo E.）とフレンケル（Franckel A.）なので、（二人の名前の頭文字を使って）、通常、「ＺＦの公理系」と云われている。この公理系が扱っている対象の集まりが 、セット（集合）概念である。

　いっぽう、ラッセルは、「タイプ理論」を導入して、「集合論のパラドックス」を回避する。これが、後々、「クラス」概念の基礎となる。次回は、「タイプ理論」について解説する。□

　
　（*1）ラッセル以外にも、当 時、集合論に内在するパラドックスを発見した人々がいるが--
　　　カントル自身も、パラドックスに気づいていたが--、 ラッセルの考えたやり方が、一般的
　　　にウケが良いので、「ラッセルのパラドックス」として広く知られている。
　　　　ちなみに、カントルの集合論は、現代では（現代の「公理的集合論」と対称して）、
　　　「素朴集合論」と云われている。

　（*2）この証明の詳細については、ここでは省略するので、拙著「論理データベース論考」や
　　　数学基礎論の文献を参照されたい。