自然数とは、1 から始まって、2, 3, 4,... と無限に続く数をいう。自然数の概念は、「ペアノ の公理」 として定義されている。

　自然数には、ふつう、0 （ゼロ） を入れないが、古代 ギリシア 時代には、1 も自然数に入れなかった。というのは、複数になって初めて 「数」 が意識される、という考えであった。つまり、1 は数を考えるための単位であった。
　自然数 （1, 2, 3,...） には、以下の 2つの考えかたがある。

　（1） 基数 （cardinal number） [ 集合数 ともいう。one, two, three,... ]
　（2） 序数 （ordinal number）　[ 順序数 ともいう。first, second, third,... ]

　そして、無限基数や無限序数を扱ったのが、カントール の集合論である。
　ペアノ は序数概念を使って 「数」 を考え、ラッセル は、基数概念を使って 「数」 を考えた。

　ペアノ の公理系として、自然数 x について、論理式 φ (x) を考える。なお 、N は集合を示し、S は 「N の関数」 とする。

　（1） φ (0).
　（2） ∀ｘ ｛ｘ ∈ Ｎ｜φ (ｘ) ｝ ⇒ φ ｛S (x) ｝.

　以上の公理系を「帰納法」という。
　S （＝ N の関数） は、「後続」 ということを意味している。たとえば、以下を考えてみれば よい。

　　　1 ＝ S0.
　　　2 ＝ SS0 ＝ S1.

　以上のようにして、いくつかの基礎集合から有限回の操作を施して生成された集合の元を使って表現できる構造を 「数学的構造 （mathematical structure）」 という。つまり、自然数の数学的構造は （N, 0, S） である。

　基数は、対象を数えるときに使う数である。数は、対象に帰属する性質ではない。2 個の個体の 「同一性」 は以下のように定義される。

　　　x id y ＝ def ∀P [ P (x) ＝ P (y) ].

　「同一性」 を使って数を記述することができる （ラッセル らの論理実証主義の立場）。或る性質 f が唯一の対象のみに帰属していることを記述すれば、以下のようになる。

　　　∃x f (x) ∀y [ f (y) ⊃ (y ＝ x) ].

　この式が満たされるならば、クラス F は正確に 1つの メンバー から成立する。したがって、数は クラス （関数の性質） であって、個々の対象の性質ではない。