カントール が、当初、「集合論」 を考えたときには、「集合」 は、以下のように直感的な概念であった。

　　　われわれの直観または思考の対象で、「（所属が） 確定していて、明確に区別される」 もの を
　　　1つの全体として まとめたものである。

　「（所属が） 確定している」 とは、「x ∈ S」 あるいは 「¬ （x ∈ S）」 のことをいい、「明確に区別されている」 とは、「x ＝ y」 あるいは 「x ≠ y」 のことをいう。「（所属が） 確定している」 x を集合 S の エレメント （あるいは、メンバー） といい、エレメント が 1つも帰属しない集合を 「空集合」 といい φ というふうに記述する。また、集合 T が集合 S に包摂されることを 「T は S の部分集合である」 といい 「T ⊆ S」 というふうに記述する。ちなみに、空集合は すべての集合の部分集合である （φ ⊆ A）。

　集合を エレメント とする集合のことを 「集合族 （family of sets）」 という。そして、集合 S のすべての部分集合からなる集合族のことを 「ベキ 集合 （power set）」 といい、「2^S」 として記述される。たとえば、集合 S のすべての部分集合 （A と B と C） から構成される集合族は、以下の 8つ （2⁸） になる。

　　｛A, B, C｝ ｛A, B｝　｛A, C｝　｛B, C｝　｛A｝　｛B｝　｛C｝　｛φ｝

　ベキ集合 2^S にふくまれる集合の個数 （ここでは、8つ）が、集合 S （ここでは、3つ） にふくまれる集合の個数に比べて大きいことに注意してほしい。
　しかし、カントールが示した曖昧な 「集合」 の定義を前提にして、巨大な集合を作ったときに、パラドックス が生じた。たとえば、以下を考えてみる。

　（1） 「すべての集合の集合」 U が U 自身をふくむとすれば、2^U ⊆ U となる。
　（2） とすれば、2^U　にふくまれる集合の個数が U にふくまれる集合の個数に比べて、小さいことになる （!）。

　これが、いわゆる 「素朴集合論の パラドックス」 である。
　パラドックス を回避するために、ツェルメロ は、｛x | x ∈ A｝ の代わりに、｛x ∈ a | A (x)｝ の形を集合とした。これを分出公理という。すなわち、もう 1つの集合 （集合 a） を考えて、あまりに大きくならない集合 （集合 a よりも小さい集合） を導入した。言い換えれば、部分集合 a を使って、パラドックス を回避する 「安全規準」 を導入したのである。分出公理のことを 「部分集合の公理」 ともいう。

　しかし、分出公理からは、｛a, b｝ とか a ∪ b とか集合族を導き出すことができないので、ツェルメロ は、ほかの いくつかの ルール を公理化して （基本的に、9つの ルール）、「どういうものを集合というか」 を定義した。それらの公理のなかで、1つの公理を フレンケル が改良したので、この公理系を、Zermelo-Fraenkel の公理系といい、「ZF」 と略称することが多い。ZF の公理系に対して、カントール の集合論を 素朴集合論という。ZF の公理系は、以下の 3点が特徴である。

　（1） 等号をふくむ第一階の述語論理を使って形式化されている。
　（2） 9つの公理を持つ形式的体系である。
　（3） ∈ 以外の述語を使わない。

　素朴集合論の パラドックス を回避する もう 1つの やりかた は、ラッセル が提示した 「タイプ 理論」 である。タイプ 理論は、以下の点を特徴とする。

　（1） モノ は、いくつもの階層 （型） から構成されている （「高階」 の構成）。
　　　　　　タイプ 0 は、個体である ｛a, b, c,...｝.
　　　　　　タイプ 1 は、個体の属性である　f (x).
　　　　　　タイプ 2 は、個体の属性の属性である　G (f (x)).
　　　　　　　：
　　　　　　　：
　　　　　　タイプ （N − 1）
　　　　　　タイプ N

　（2） タイプ N の関数は タイプ （N − 1） の対象を代入項とする。

　すなわち、同じ階からの代入項を認めないので、「x ∈ x」 （自分自身を メンバー とする集合） は無意味となる。

　いっぽう、フォン・ノイマン は、記号論理の手法を使って、集合論を いっそう形式化して拡張し、ベルナイス と ゲーデル は、ノイマン の形式化を単純な形に整理した。この形式的に拡張された集合論を Bernays-Godel の集合論といい、「BG」 と略称することが多い。

　A (u) を任意の集合論的論理式とする。集合論的論理式とは、∈ （メンバー である） という述語だけを使って作成される論理式のことをいう。｛u | A (u)｝ の存在は、ZF の公理から得られない。｛u | A (u)｝ を集合 （set） と区別して クラス （class） という。
　なお、ZF で証明できる式は BG でも証明でき、BG で証明できる式は ZF でも証明できるそうです。

　述語論理があつかう変項 P (x) の範囲が個体に限られているなら、「第一階の （first-order） 述語」 といい、変項が個体と論理式の両方を対象にしているなら 「第二階の述語論理」 [ G (F)、関数の関数 ] という。さらに、第三階、第四階...というふうに上位の階を考えることができるが、第二階以上を 「高階」 の述語論理という。

　そして、述語論理は集合論に翻訳できる。集合は、つねに、「メンバー と集合」 を単位にして考える。すなわち、第一階の述語は、「個体と集合」 として考えることができるし、第二階の述語は、（集合を メンバー にして、） 「集合の集合」 として考えることができる。したがって、「包摂する」 というのは、階数のあいだの関係であり、「帰属する」 というのは、次数 （メンバー の列挙） を示す。したがって、F (f) ＝ ｛f (x）｝ ≠ ｛a, b, c｝。