順序数とは、つねに、先行する数があることを前提にしている。そこで、順序数を考えるには、「構造」 を解析しようとする数学者たちは--最初、フォン・ ノイマン 氏が提示したが--後続する数を、先行する数の 「集合」 として見做すという 「エレガント な」 やりかたを導入した。つまり、「5」 を 「｛0, 1, 2, 3, 4｝」 と見做す、という ルール （規約） を導入したのである [ 我々が、「直感的に」 そういうふうに、物のありかたを考えている、という訳ではないが、そういうふうに考えれば、或る 「構造 」 が解析しやすい、という意味である ]。

　とすれば、「0」 は （先行する数をもたないので） 空集合 [ φ ] と見做すことができる。
　とすれば、「0」 と自然数は、空集合 [ φ ] と空集合の集合 ｛φ｝ を使って、以下のように記述することができる。

　　　0 ＝ φ
　　　1 ＝ ｛0｝　　　　 ＝ ｛φ｝
　　　2 ＝ ｛0, 1｝　　　＝ ｛φ, ｛φ｝｝
　　　3 ＝ ｛0, 1, 2｝　 ＝ ｛φ, ｛φ｝, ｛φ, ｛φ｝｝｝
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　以上のように考えれば、順序数は集合である、とい うことがわかる。

　以上の考え方を、最も 「エレガント に」 体系化した公理系が、ペアノ 氏の 「自然数の公理系」 である。
　ペアノ 氏の公理系を （述語論理を使って） 記述すれば、以下のようになる。
　自然数 x について、論理式 φ (ｘ) を考える。なお 、N は集合を示し、S は 「N の関数」 とする。

　（1） φ (0).
　（2） ∀x ｛ x ∈ N ｜ φ (x) ｝ ⇒ φ ｛ s (x) ｝.

　以上の公理系を 「帰納法」 という。
　S （＝ N の関数） は、「後続」 ということを意味している。たとえば、以下を考えてみればよい。

　　　1 ＝ S0.
　　　2 ＝ SS0 ＝ S1.

　以上のようにして、いくつかの基礎集合から有限回の操作を施して生成された集合の メンバー を使って表現できる構造を 「数学的構造 （mathematical structure）」 という。つまり、自然数の数学的構造は （N, 0, S）である。

　次回は、「空集合」 と論理 （仮言命題） を説明する。□