1. 量化記号

　命題関数は、演算子 （「すべての」 と 「いくつかの （...存在する）」） および論理的否定を使って、（真あるいは偽の） 判断に転化できる。演算子 「すべての」 と演算子 「いくつかの」 のことを量化記号と呼び、以下のように記述する。

　（1） すべての x　----------------->　∀x
　（2） （いくつかの） x が存在する　---->　∃x

　∀ は all を意味する記号であり、∃ は extistential を意味する記号である。
　∀x を使って記述された命題を全称命題といい、∃x を使って記述された命題を特称命題 （あるいは、存在命題） という。
　以下に、全称命題と特称命題の例を示す。

　
　1. 全称命題の例

　　　文章：　敦と剛と大地の 3人が野球をする。

　　（1） 記号化

　　　　　p₁ ＝ 敦は野球をする。
　　　　　p₂ ＝ 剛は野球をする。
　　　　　p₃ ＝ 大地は野球をする。

　　（2） 記号列 （以上の記号を 「連言」 を使って記述すれば、以下のようになる。）

　　　　　p₁ ∧ p₂ ∧ p₃.

　　（3） 全称化

　　さて、p₁ と p₂ と p₃ のそれぞれの要素命題のなかで使われている個体記号 （1 と 2 と 3） を変数にすれば、以下のように記号化できる。

　　　　　p_x ＝ x は野球をする。

　そして、量化記号を使えば、以下の記述になる。

　　　　　∀_xp_x　（読みかた：　すべての x は性質 p をもつ。）

　つまり、連言を使って記述された複合命題と全称命題は同値である。

　　　　　p₁ ∧ p₂ ∧ p₃ ≡ ∀_xp_x.

　
　3. 特称命題の例

　　　文章：　信号機の指示灯の色は 3色ある。青色か赤色か黄色である。

　　（1） 記号化

　　　　　p₁ ＝ 信号機が青色になっている。
　　　　　p₂ ＝ 信号機が赤色になっている。
　　　　　p₃ ＝ 信号機が黄色になっている。

　　（2） 記号列 （以上の記号を 「選言」 を使って記述すれば、以下のようになる。）

　　　　　p₁ ∨ p₂ ∨ p₃.

　　（3） 存在化

　　さて、p₁ と p₂ と p₃ のそれぞれの要素命題のなかで使われている個体記号 （1 と 2 と 3） を変数にすれば、以下のように記号化できる。

　　　　　p_x ＝ 信号が x 色になっている。

　そして、量化記号を使えば、以下の記述になる。

　　　　　∃_xp_x　（読みかた：　性質 p をもつ x がいくつか存在する。）

　つまり、選言を使って記述された複合命題と存在命題は同値である。

　　　　　p₁ ∨ p₂ ∨ p₃ ≡ ∃_xp_x.

　
　4. 自由変項と束縛変項

　量化記号を附与された式のなかにある変数を束縛変項 （bound variable） といい、量化記号を附与されていない式のなかにある変数を自由変項 （free variable） という。

　つまり∀_xp_x あるいは ∃_xp_x のなかの x は束縛変項であり、p_x のなかの x は自由変項である。

　　（1） ∀_xp_x　（x は束縛変数である）
　　（2） ∃_xp_x　（x は束縛変数である）
　　（3）　　 p_x　（x は自由変数である）

　ちなみに、p_x の自由変数 x のなかに値を代入した命題は （全称命題および存在命題に対して） 単称命題と呼ばれている。たとえば、p_x において、性質 p を緑色として、自由変数 x のなかに 「この葉」 という値を代入すれば、「この葉は緑色である」 という文章が単称命題である （言い換えれば、変数を使わない命題が単称命題である）。

　次回は、全称命題と存在命題と単称命題の間に成立する関係を扱う。□