「全称」 と 「存在」 と 「単称」 の間には、以下の論理式が成立する。
　（全体集合 L のなかの任意の メンバー を x とし、或る具体的な メンバー を x_１とする。）

　（1） 「全称」 の単称化　　∀xP(x) ⇒ Ｐ(x_１).
　（2） 「全称」 の存在化　　∀xP(x) ⇒ ∃xＰ(x).
　（3） 「単称」 の存在化　　 Ｐ(x_１) ⇒ ∃xＰ(x).

　（2） は、（1） と （3） を前提にして、モーダス・ポーネンス から導くことができる。
　｛∀xP(x) ⇒ Ｐ(x_１)｝∧｛P(x_１) ⇒ ∃xＰ(x)｝ ⇒ ｛∀xP(x) ⇒ ∃xＰ(x)｝.

　さて、「全称」 と 「存在」 の論理的否定は、（ド・モルガン の法則を応用すれば） 以下のようになる。

　（1） ¬｛∀xP(x)｝ ≡ ∃x¬Ｐ(x).
　（2） ¬｛∃xP(x)｝ ≡ ∀x¬Ｐ(x).

　以下に証明する。

　¬｛∀xP(x)｝ ≡ ¬（Ｐ_１∧Ｐ_２∧Ｐ_３...∧Ｐ_ｎ）
　　　　　　　 　　≡ ¬Ｐ_１∨¬Ｐ_２∨¬Ｐ_３...∨¬Ｐ_ｎ
　　　　　　　 　　≡ ∃x¬Ｐ(x).

　すなわち、「全称」 の否定は 「存在」 になる。
　言い換えれば、「すべての x は P である」 の否定は、「或る x は P でない」 となる。

　¬｛∃xP(x)｝ ≡ ¬（Ｐ_１∨Ｐ_２∨Ｐ_３...∨Ｐ_ｎ）
　　　　　　　 　　≡ ¬Ｐ_１∧¬Ｐ_２∧¬Ｐ_３...∧¬Ｐ_ｎ
　　　　　　　 　　≡ ∀x¬Ｐ(x).

　すなわち、「存在」 の否定は 「全称」 になる。
　言い換えれば、「或る x は P である」 の否定は、「すべての x は P でない」となる。

　さて、以上の基本がわかれば、2項関係 （aRb） の量化を扱うことができる。
　たとえば、以下の文章を記号列として記述することができるようになる。

　（1） 営業所の少なくとも 1つには、少なくとも 1人の正社員がいる。
　（2） すべての営業所には、すべて正社員ばかりである。
　（3） 正社員ばかりの営業所が、高々 3つある。

　以上の文章が、[ R (a, b) のなかで ] relation を生成したり サブセット を生成したりするために解析されなければならないことは理解できるであろう　（後述、「量化の練習問題 (その 2）」 を参照されたい）。
　次回は、2項関係のなかで、「全称」 と 「存在」 の関係を扱う。□