S_１ is on S_２.

　つまり、「S-P」 形式のほかに、多くの主語の間に関係が成立する論理形式がある。
　2つの主語間の関係を 「aRb」 として記述する。「aRb」 は、以下のように読む。

　「a は b に対して関係 R にある」 R は、Relation の省略形である）。

　関係 「aRb」 は、「判断」 ではない。「aRb」 は 2つの変項 （a と b） の命題関数である [ R (a, b) ]。
　たとえば、論理式 「∃xＰ(x＝y）」 を考えれば、「ｘ＝ｙ」 となるような x が存在するということを記述しているが、いまだ、y という変項があるので、「判断」 にはなっていない。
　この論理式が 「判断」 となるためには、「∃x∃yＰ(x＝y）」 というふうに記述されなければならない。

　2項述語論理式では、量化の論理法則は以下のように成立する （具体的な エレメント を a と b とする）。

　（1） ∀x∀yＰ(x, y) ⇒ ∀yＰ(a, y) ⇒ ∃x∀yＰ(x, y) ⇒ ∃xＰ(x, b) ⇒ ∃x∃yＰ(x, y).
　（2） ∀x∀yＰ(x, y) ⇒ ∀yＰ(a, y) ⇒ Ｐ(a, b) ⇒ ∃x∃yＰ(x, y).
　（3） ∀x∀yＰ(x, y) ⇒ Ｐ(a, b) ⇒ ∃x∃yＰ(x, y).
　（4） ∀x∀yＰ(x, y) ⇒ ∀xＰ(x, b) ⇒ Ｐ(a, b) ⇒ ∃x∃yＰ(x, y).
　（5） ∀x∀yＰ(x, y) ⇒ ∀xｐ(x, b) ⇒ ∀x∃yＰ(x, y) ⇒ ∃yＰ(a, y) ⇒ ∃x∃yＰ(x, y).

　端的に言えば、以下のような論理法則が成立する。

　（1） ∀x∀yＰ(x, y) ⇒ ∃x∀yＰ(x, y).
　（2） ∀x∀yＰ(x, y) ⇒ ∀x∃yＰ(x, y).
　（3） ∃x∀yＰ(x, y) ⇒ ∃x∃yＰ(x, y).
　（4） ∀x∃yＰ(x, y) ⇒ ∃x∃yＰ(x, y).
　したがって、∀x∀yＰ(x, y) ⇒ ∃x∃yＰ(x, y).

　論理否定をとれば、

　（1） ¬｛∀x∀yＰ(x, y)｝ ≡ ∃x∃y¬Ｐ(x, y).
　（2） ¬｛∃x∀yＰ(x, y)｝ ≡ ∀x∃y¬Ｐ(x, y).
　（3） ¬｛∀x∃yＰ(x, y)｝ ≡ ∃x∀y¬Ｐ(x, y).
　（4） ¬｛∃x∃yＰ(x, y)｝ ≡ ∀x∀y¬Ｐ(x, y).

　すべての量化記号を論理式の外側に （冠頭に） 置くことができる。
　たとえば、¬∀xＰ(x) を ∃x¬Ｐ(x) とすることができるし、Ａ∧∀xＰ(x) を ∀x｛Ａ∧Ｐ(x)｝ とすることができる。
　また、Ａ ⇒ ∀xＰ(x) を ∀x｛Ａ ⇒ Ｐ(x)｝ とすることができる。
　（ただし、以上の例では、いずれも、A は自由変項をふくまない）。
　すべての量化記号が冠頭にある形の論理式を 「冠頭標準形」 という。「冠頭標準形」 は、数学の証明のなかで、多々、使われる [ 例えば、ヒルベルト・アッケルマン の 「数学の基礎」 を読んでみてほしい ]。

　論理否定では、量化記号　（∀ と ∃） が逆になると覚えておけばよいのだが、証明の考えかたは、全称の否定と存在の否定を、それぞれ、ひとつずつ、繰り返せばよい （前回の 「全称化」 と 「存在化」 を思い出してほしい）。
　たとえば、¬｛∃x∀yＰ(x, y)｝ ≡ ∀x｛¬∀yＰ(x, y)｝ ≡ ∀x∃y¬Ｐ(x, y).

　以上の推論は、（「単称化」 と 「存在化」 の論理法則を知らなくても、直感的に感知できる） 当然と言えば当然の推論だが、数学では、記号列を操作して飛躍のない推論をしなければならない。
　逆に言えば、以上の推論の操作がわかれば、述語論理の記号列を読むことができる。実は、そうなってほしいことが本稿の狙いであった （笑）。そういうふうな技術を習得すれば、数学 （数学基礎論） の論文や本を読むときに、怖じ気を感じることがなくなる。

　そういう記号列の操作技術を習得しなければ、「原典」 を直接に読むことができないから、常に、他人から解説してもらって初めて、「原典のおおざっぱな考えかた」 を感じることができる、というように後塵を拝するしかないし、「原典」 を自ら正確に解析することができない。したがって、他人の作った方法を上手に使いこなすことができても、所詮、真似事に過ぎない。
　次の世代の人々は、「原典」 を読んで、それを、さらに、一歩進めなければならない。百尺竿頭一歩進。

　次回は、記号操作の応用問題 （例題） を扱ってみる。□