さて、今回は、「関係の論理」 の量化を扱ってみましょう。

　関係の論理を扱うときに、以下の関係を覚えておけばよいでしょう。

　（1） 汎関係と零関係
　（2） 逆関係
　（3） 連鎖
　（4） 遺伝的
　（5） 反射性・対称性・移行性

　反射性・対照性・移行性については、前回 （4月14日、116ページ）、説明しました。
　反射性・対称性・移行性は、以下のように記述されます。

　（1） 反射性　∀x R (x, x).
　（2） 対称性　∀x ∀y [ R (x, y) ⇒ R (y, x) ].
　（3） 移行性　∀x ∀y ∀z｛ [ R (x, y) ∧ R (y, z) ] ⇒ R (x, z) ｝.

　関係 「aRb」 は多項述語論理 （2項述語論理） である。多項述語論理が単項述語論理とちがう点は、全称演算子と存在演算子の コンビネーション を生成できる、という点にある。まず、以下の基本的な記述を最初に習得してほしい。

　（1） 関係の包摂 （⊂）
　（2） 関係の和 （∪）
　（3） 関係の積 （∩）
　（4） 関係の否定 （¬、あるいは補集合）

　
1. 関係の包摂 （⊂）

　1つの関係は他の関係に含まれることがある （R ⊂ S）。
　関係の包摂を述語論理を使って記述すれば以下のようになる。

　R ⊂ S ≡ ∀x ∀y [ R (x, y) ⇒ S (x, y) ].

[ 注意 ]　以上の説明において、「⊂（ふくむ）」 は 「∈ （メンバー である）」 と同義である、と思っていただきたい。

　この式は、「2つの モノ (x, y) の間に関係 R が成立しているとき、（そして、そのときに限り） 常に これらの モノ の間には関係 S も成立する」 ということを記述している。

　
2. 関係の和 （∪） と関係の積 （∩）

　2つの関係 （関係 R と関係 S） のうち少なくとも 1つが成立する、ということは以下のように記述される。

　R ∪ S ≡ ∀x ∀y [ R (x, y) ∨ S (x, y) ].

　2つの関係 （関係 R と関係 S） の間に共通集合を生成することもできる。

　R ∩ S ≡ ∀x ∀y [ R (x, y) ∧ S (x, y) ].

　
3. 関係の否定

　関係の否定は、以下のように記述することは、前回 （4月14日、116ページ）、述べた。

　¬R (x, y) ≡ R’ (x, y).

　以上の基本的な記述を習得したら、いよいよ、以下の関係の論理を扱いましょう。

　（1） 汎関係
　（2） 零関係
　（3） 逆関係
　（4） 連鎖
　（5） 遺伝的

　
4. 汎関係

　汎関係は以下のように記述できる。

　R ∪ R’.

　これは述語論理を使って以下のように記述できる。

　R ∪ R’ ≡ ∀x ∀y [ R (x, y) ∨ R’ (x, y) ].

　
5.零関係

　零関係は以下のように記述できる。

　R ∩ R’.

　零関係は汎関係を使って記述できる。零関係は 「汎関係の論理的否定」 のことである。

　¬ (R ∪ R’) ≡ R’∩ R ≡ R ∩ R’.

　述語論理を使って記述すれば以下のようになる。

　∀x ∀y [ R (x, y) ∨ R’ (x, y) ] ≡ ¬｛∃x ∃ｙ [ R (x, y) ∧R’(x, y) ] ｝.

　
6. 逆関係 （inversion）

　逆関係は「逆関数」のことである。
　つまり、関数 x ＝ f (y) があれば、逆関係とは x ＝ f^−１(ｙ) である （つまり、逆関数になる）。
　たとえば、「佐藤恵美子は佐藤正美の 『妻である』」 という関係の逆関係は 「佐藤正美は佐藤恵美子の 『夫である』」 ということになる。

　
7. 連鎖

　2つの関係 （関係 R と関係 S） において、∃u [ R (x, u) ∧ S (u, y) ] が成立するなら、関係 R と関係 S を連鎖という。

　∀x ∀y ∃u [ R (x, u) ∧ S (u, y) ].

　たとえば、R (x, u) を 「佐藤敦は佐藤剛と兄弟である」 として、S (u, y) を 「佐藤剛は佐藤正美の子である」 とすれば、関係 R と関係 S の連鎖 ∀x ∀y ∃u [ R (x, u) ∧ S (u, y) ] は 「佐藤敦は佐藤正美の子である」 ということになる。

　
8. 遺伝的（Erblichkeit）

　遺伝という概念は フレーゲ （Frege, G.） が完成した。
　遺伝的ということを記号 「Erbl」 を使って記述する （ドイツ 語の Eriblichkeit の省略）。

　Erbl (P, R) ≡ def ∀x ∀y { P (x) ∧ [ R (x, y) ⇒ P (y) ] ｝.

[ 注意 ]　def は definition の省略形である。すなわち、「このように定義する」 という意味である。

　さて、次回は、以上の関係の論理と前回の記述 （反射性・対称性・移行性） を前提にして、以下の点を扱う。
　「反射性は、対称性と移行性から導出できる。」 □