さて、今回は、「述語の述語 （性質の性質）」 を扱ってみましょう。

　F (P) を考えてみましょう。この形式は、述語 F は性質 P をもつ、という意味です。たとえば、F を 「2項関係 [ aRb ] という性質」 として、P を 「対称性という性質」 とすれば、F (P) は、「2項関係の中には対称性がある」 となります。

　さて、（素朴集合論の パラドックス となった） 「自己言及」 を扱ってみましょう。
　つまり、F (F) として、「自己自身を言及する」 は成立するか、という点を扱ってみましょう。
　以下の 3つの 「述語」 を例にします。

　　（1） f (a)　佐藤敦は小学生である。
　　（2） F (a)　佐藤敦は生徒である。
　　（3）φ (f)　小学生は生徒である。

　では、φ (F) は意味があるか。つまり、「生徒であるは生徒である性質をもつ」 は意味があるか。
　これを避けるために、ラッセル は タイプ 理論のなかに 「タイプ 間の代入規則」 を導入しました （「ベーシックス」 28ページを参照してください）。

　「ラッセル の パラドックス」 を 「述語的と非述語的」 という観点から--排中律が成立して、「真」 と 「偽」 が判断しやすい観点から--扱ってみましょう。以下の 4つの式を前提にします。

　　（1） F (F)　　述語になり得る性質は、述語になり得る。
　　（2） F (¬F)　述語になり得ない性質は、述語になり得る。
　　（3） ¬F (F)　述語になり得る性質は、述語になり得ない。
　　（4） 排中律　 F ∨ ¬F （述語になり得るか、述語になり得ないか、どちらかである。）

　「排中律を前提にして」、以下の 2つの式を検証しましょう。

　　（1） F (¬F) ⇒ ¬F (F).
　　（2） ¬F (F) ⇒ F (¬F).

　F (¬F) の排中律をとれば、¬F (F) になります。
　とすれば、F (¬F) が成立するならば、（そして、そのときにかぎって） 「排中律として」 ¬F (F) が成立するから、（1） の式が成立します。逆の （2） も同じように構成できます。
　したがって、（1） と （2） の両方の式を作成することができます。

　さて、（1） は以下のような同値の形をとることができます （p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q を思い出してください）。

　　F (¬F) ⇒ ¬F (F) ≡ ¬ { F (¬F) } ∨ ¬F (F).

　さて、もし、F (¬F) が 「真」 であれば、¬{ F (¬F) ｝ は 「偽」 になって、¬F (F) が 「真」 になります （「真理値表」 を使って検証してみてください）。とすれば、F (¬F) と ¬F (F) が両立してしまいます。

　同じようにして、（2） は以下のような同値の形をとることができます。

　　¬F (F) ⇒ F (¬F) ≡ ¬{ ¬F (F) } ∨ F (¬F).

　さて、もし、¬F (F) が 「真」 であれば、¬{ ¬F (F) } は 「偽」 になって、F (¬F) が 「真」 になります （「真理値表」 を使って検証してみてください）。とすれば、¬F (F) と F (¬F) が両立してしまいます。

　以上から判断して、いずれも、矛盾になります。

　「自己言及」 型の矛盾を 「排中律が成立するようにして、述語的と非述語的という観点から」 扱ってみたのですが、無限という規約のなかで、排中律が成立するかどうか、という点は大きな論点になります。
　そのために、推論では、排中律を使わない推論が提示されています （端的には、NK と NJ を思い出してください）。

　なお、「自己言及」 型の類例は、ほかにも、以下のような例があります。

　　（1） 私は嘘を言っている。
　　（2） この文は嘘である。
　　（3） 「クレタ 人は嘘つきである」 と クレタ 人が言った。
　　（4） すべての蔵書を記載した図書目録は、目録自身を記載するのか。

　あるいは、「自己言及」 型が 2つの間で反射する以下の例もあります。

　　　夫婦喧嘩の例、
　　　　　恵美子　「正美さんは嘘つきです。」
　　　　　正美　　 「恵美子は正直だ。」

　（この夫婦喧嘩は、あくまで、仮想なので、我が家の喧嘩だとは思わないでください--笑）

　次回は、「集合と排中律」 を扱ってみます。 □