さて、今回は、「集合と排中律」 を扱ってみましょう。

　カントール の提示した集合論は 「新しい数学」 の起点になったと同時に 「パラドックス」 を内包していたことがわかって、「数学の基礎」 を検討する以下の 3つの流れが形成された。

　　（1） 論理主義 （ラッセル）
　　（2） 形式主義 （ヒルベルト）
　　（3） 直観主義 （ブラウワー）

　ラッセル は、ホワイトヘッド との共著 「数学原理 （Principia Mathematica）」 のなかで、「数学 ＝ 論理学 ＋ 集合論」 であること--論理学が数学の基礎になること--を証明しようとしたが、論理学以外の公理 （「無限の公理」 や 「還元の公理」） を導入せざるを得なかった。
　ウィトゲンシュタイン は、ラッセル のやりかた （タイプ 理論） を徹底して否認した。
（ちなみに、ラッセル のやりかたを 「改良」 しようとした人物が ラムゼー である--ラムゼー は若い頃から天才数学者という評価を得ていたが、26歳で夭折した。彼は ウィトゲンシュタイン の数少ない理解者の一人であった。）

　ヒルベルト は、集合論と全数学の無矛盾性の絶対的証明をするために、以下の 3点を立脚点にした 「ヒルベルト・プログラム」 を提示した。

　　（1） 形式化 （公理や定理を記号化して操作する第一階述語論理）
　　（2） 証明論 （数学的理論を一段高い観点--メタ--から証明する）
　　（3） 有限の立場 （有限個の記号列を有限回の操作によって実行可能にする）

　ゲーデル は、ヒルベルト のやりかたが不可能であることを証明した。ゲーデル は 「タイプ 理論」 を継承している。
（ちなみに、ヒルベルト の高弟の一人が フォン・ノイマン である--フォン・ノイマン は、ゲーデル が提示した 「不完全性定理」 を当初から高く評価していた。彼は ゲーデル の数少ない理解者の一人であった。）

　「歴史の瞬間」 ということを考えてみると、ウィトゲンシュタイン と ゲーデル は、（ウィーンで 開催された） ブラウワー の講演会に出席していて--おたがい、言葉を交わさなかったが--、ブラウワー の講演を聴いて、二人とも、歴史に遺る着想を得ている。ウィトゲンシュタイン は、（前期の代表作である 「論理哲学論考」 を著して、「哲学を葬り去った」 と思って哲学から離れていたが） ブラウワー の講演を聴いて、哲学に戻って、「新たな一歩」 を踏み出すことになった。ゲーデル は、ブラウワー の講演を聴いて、「不完全性定理」 の着想を得ている。

　さて、二人の天才に刺激を与えた ブラウワー は、「直観主義」 を提唱して、以下を論点にしていた。

　　（1） 「無限集合」 を前提にして、排中律 （A ∨ ¬A） の 「無制限な」 使用は疑わしい。
　　（2） 「偽であると仮定すれば矛盾が起こる」 という主張は、「だから、真である」 ということにはならない。

　つまり、ブラウワー は「¬¬P ⇒ P」 を拒否した。

[ 参考 ]
　論理主義 （ラッセル） は、早々、立脚点が崩れて消滅していったが、形式主義 （ヒルベルト） と直観主義 （ブラウワー） は対立しながら、「10年戦争」 と呼ばれる （10年強に及ぶ） 論争を繰り広げた。

　ちなみに、ウィトゲンシュタイン の考えかたが ブラウワー の考えかたに近いことを ラッセル は危惧していた--ラッセル は、ウィトゲンシュタイン を天才として認め、論理学と哲学において、自らの後継者と見做していた。
　（ラッセル が ムーア に送った手紙のなかで）
　「彼は無限について多く語っています。それはつねに ブラウワー が言ってきたことと同じになる危険に晒されていますし、そして、この危険が明白になったときには、いつでも、そうならないように引き留めなければなりません。」
　（レイ・モンク 著、岡田雅勝 訳、「ウィトゲンシュタイン （1）」、みすず書房、266ページ）

　たしかに、ウィトゲンシュタイン の遺稿 「数学の基礎」 を読めば、ブラウワー に近い考えかたをしていることを感じるけれど、ウィトゲンシュタイン は 「基本的な数学的直観」 対しては共鳴していないし、彼の講義 （1939年） のなかでは、「直観主義はすべて ナンセンス である」 と言っている。
　およそ、(「基本的な数学的直観 （あるいは、存在）」 という） カント 的概念や プラトン 的概念は ウィトゲンシュタイン が叩きつぶそうとした対象であって、彼が共鳴する概念ではない。

[ 補筆 ]
　拙著「論理 データベース 論考」 を本屋で立ち読みした人が、拙著のなかには 「論理実証主義」 の参考文献が多く記載されているので、「論理実証衆愚（？）」 というふうに非難した文章を インターネット 上に掲載していたそうですが、ウィトゲンシュタイン を 「論理実証主義」 のなかに数えるようでは、哲学の基本も知らないことを露呈しているでしょうね。ウィトゲンシュタイン も ゲーデル も--ゲーデル は 「論理実証主義」 の会には参加していたけれど、彼は会と距離を置いていた--「論理実証主義」 であったことは、金輪際、ない。拙著のなかで紹介した文献では、「論理実証主義」 と言ってもいいのは、カルナップ と ライヘンバッハ の 2人くらいである。小生自身も 「論理実証主義」 を信奉していない。

　ちなみに、小生は、今、ボイル （数学者） が使っていた 「effectif」 という概念が気になっていて、それを研究したいと思っている。

　
　さて、話を本題に戻しましょう。
　集合論において、排中律 「A ∨ ¬A」--言い換えれば、和集合 「A ∪ A^ｃ」--が、なにを言及しているのか、ということは吟味されなければならない。
　たとえば、「緑色の モノ」 の集合と、その集合の補集合 「緑色でない モノ」 を考えたら、和集合として 「全ての色のモノ」 の集合が成立する。

　もし、「緑色でない」 という概念を 「全ての他の色の」 外延として解釈すれば、排中律は成立する。
　すなわち、集合の対象を 「色」 に限定すれば、排中律は成立する。

　しかし、「緑色である」 という性質を除いた全ての性質として解釈すれば、「緑色でない モノ」 の中には、「透明である」 とか 「人間」 とか 「自然数」 などの概念も含まれてしまい外延を形成しない。

　つまり、否定概念として、以下の 2つは峻別されなければならない。

　（1） 事物の一定の範囲での否定概念
　（2） 或る事物の外延の外に存在する全ての モノ

　集合論は、「概念の抽象化」 に役立つ手法であるが、或る集合の事物に関して、その事物のみに帰属する 「本質的な性質」 （内的特徴） と 「非本質的な性質」 （外的特徴） を区別することができない。
　Ｔ字形 ER手法のなかで、この点を論点にしたのが 「みなし概念」 である。 □