本 エッセー を読み返してみたのですが、「全射・単射・双射」 は、本 エッセー の文のみでは、なかなか、理解しにくいかもしれないと思いました。 m(＿ ＿)m
　もう少し、「前提」 を綴れば良かったと。

　まず、「写像 （mapping）」 （あるいは、関数） は、文字通り、2つ （以上） の集合のあいだに成立する対応関係です--2つ以上としたのは、「合成関数」 もあるから。

　集合 A の どの メンバー に対しても、集合 B の或る メンバー が 1つだけ対応しているとき、この対応のことを 「写像 （あるいは、関数）」 と云います。写像は、ふつう、f とか g とか h とか φ などの文字を使って記述します。集合 A から集合 B への写像は、以下のように記述します。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　f
　　　　f： A → B.　（あるいは、A → B.）

　このとき、A を 「（f の） 定義域」 と云い、B を 「（f の） 値域」 と云います。
　そして、（A の メンバー である） x に対して、（B の メンバー である） y が対応しているとき、f (x) と記述して、y を f の 「像」 と云います。

　たとえば、ZF 公理系の 「分出公理」 を思い出して下さい。

　　　　{ x ∈ a | A (x) }.

　ツェルメロ は、｛ x | x ∈ X } の変わりに、部分集合 a を考えて、セット 概念を導入しました。すなわち、f (A) ⊆ f (X) です。このとき、たとえば、3つの集合 （A、X および Y） の包摂関係を考えて--言い換えれば、f (A) ⊆ f (X) ⊆ Y ならば--、f が X から Y への写像であるというとき、以下の 2つの事態を考えることができます。

　　（1） X の任意の メンバー x に対して、Y の メンバー f (x) が存在する （定義されている）。
　　（2） X の任意の メンバー x に対して、Y の メンバー f (x) が存在しない （定義されていない）。

　このとき、関数 f を 「部分関数」 と云います。つまり、f (x) は定義されていないことがある、ということです （すなわち、定義域 { x ∈ X | ∃y ∈ Y } ∧ 値域 { f (x) ∈ Y | x ∈ X } ）。たとえば、f は A から B への部分関数で、ω が B の メンバー でないとすれば、関数 f_ω　は、f_ω： A → B ∨ { ω } です。 　これに対して、f (x) が、すべて、定義される関数を 「全域関数」 と云います。

　f： X → Y の定義域 X を A ⊆ X に限った写像を f の A への 「制限」 と云い、f |_A というふうに記述し、逆に、f は、f |_A の 「拡張」 と云います。

　そして、f： X → Y において、「すべての」 x ∈ X に対して、f (x) ＝ a であるような a ∈ Y が存在するとき、f を 「定値写像 （あるいは、定数関数）」 と云います。また、「すべての」 x ∈ X に対して、f (x) ＝ x である f を 「恒等写像 （あるいは、恒等関数）」 と云います。

　さて、全射と単射を具体例を考えてみましょう。私は、いま （2007年度）、或る高校の PTA 会長をしているので、生徒の例を考えてみます。或る高校の生徒の集合を X として、生徒の保護者の集合を Y とします。

　（1） X から Y への写像 g は全射だが、単射であるとは限らない。
　（2） 写像 g を 「一人っ子の集合」 に制限すれば、単射になるが、全射であるとは限らない。