| 2002年 9月 1日 作成 | 述語論理の公理系 | >> 目次 （作成日順） |
| 2007年11月 1日 補遺 | ||
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理論は、いくつかの命題を前提にして、それらの命題だけを用いて構築される。
公理は理論の仮定であるから、どのような公理を選ぶかという点は恣意的である。
（1） 無矛盾性（consistency, noncontradiction）
（２） 独立性（independence）
（３） 完全性（complete, categorical）
[ 参考 ] 公理系 H は、以下の 12個の公理を用意している。
（1） A ⇒ （B ⇒ A）.
以上の 12個の 「述語論理の公理」 から、（11） と （12） を外したら、「命題論理の公理」 となる。
（1） A, A ⇒ B
（2） A (a) ⇒ C
（3） C ⇒ A (a)
以上の 3つの推論規則のなかで、命題論理の推論規則は （1） の三段論法だけである。
[ 参考 ] 述語論理の完全性を証明した人物が ゲーデル である。 □ |
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[ 補遺 ] （2007年11月 1日）
ゲーデル の 「完全性定理」 は、第一階述語論理において、「恒真命題 （トートロジー） は、すべて、証明可能である」 ということを証明した定理です。「完全性定理」 を読むには、まず、以下の 4つの概念を把握しておかなければ、読んでも理解できないでしょうね （数学の専門家にとっては、以下の 4つの概念は既知のことでしょうが、私のような シロート が 「完全性定理」 の論文を最初に読んだとき、皆目、理解できなくて、[ 廣瀬・横田 共著 「ゲーデル の世界」 を案内役として、] 再読した際に、以下の 4つの概念が大切な役割を演じていることに、やっと、気づいた次第です）。
（1） 無矛盾 （T ├ ¬A ⇒ ｛T, ¬A｝ は無矛盾である） ゲーデル の 「完全性定理」 は、「T ├ ¬A」 （｛T, ¬A｝ は、或る モデル で充足的である） に対して対偶を使っていて--すなわち、「A が モデル M で恒真である ⇒ ¬A は モデル M で充足的でない」 という対偶を使っていて--、「¬A は、T の任意の モデル で充足的でない」 ことを示して、「T ├ A」 として、「恒真 ＝ 証明可能性」 を導いています。これらの概念 （無矛盾、恒真・充足的・恒偽、証明可能性、対偶） を前提にして、「完全性定理」 が、どのようにして構成されているかという点を 拙著 「論理 データベース 論考」 （131ページ） に示したので、参照してみて下さい。 ちなみに、「完全性定理」 は、一般形として、「T が無矛盾なら、T の可算 モデル が存在し、そして、モデル が存在すれば、その形式的体系は無矛盾である」 という主張になるのですが、この モデル の存在性が、「不完全性定理」 に使われました。「完全性定理」 とか 「不完全性定理」 というふうに、ふつう、簡略名称が使われるので、われわれ シロート は、「完全性」 が証明された直後に、「不完全性」 が証明されたというのが奇妙に思われるのですが、それぞれの定理では、対象が違うのです--「完全性」 は 「述語論理の完全性」 であり、「不完全性」 は、「『或る条件の下--すなわち、算術化された体系--では』、体系が無矛盾であっても、『真』 とも 『偽』 とも判断できない命題を作ることができる」 という意味です。 さて、「トートロジー （同語反復）」 という用語は、ウィトゲンシュタイン が 「論理哲学論考」 のなかで導入した概念で、以後、「命題論理」 のなかで、「命題関数 （真理関数）」 の恒真命題に対して使われるようになりました。述語論理の恒真性は、以下のような 「基本定理」 として まとめられるそうです。 述語論理の恒真性 ＝ トートロジー ＋ 量化定理 「証明可能性」 も、ゲーデル 以後、ゲンツェン が 演繹体系 LK を導入して （1934年）、「証明」 の構造的研究が進み、そして、ヘンキン が 「不完全性定理」 を一般的な形で構成しました （1949年）。ゲンツェン の LK と ヘンキン の証明法を基にして、タブロー 法が作られました。 述語論理の 「基本定理」 と タブロー 法を使って、ゲーデル の 「完全性定理」 を証明した書物として、以下を読んでみて下さい。 「ゲーデル と 20世紀の論理学 （2）[ 完全性定理と モデル 理論 ]」、田中一之 編、東京大学出版会。 |
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