ゲーデル 氏の有名な仕事として、「第 1階述語論理の完全性」 「算術の不完全性」 「連続体仮説の無矛盾性」 を証明したこと、さらに、アインシュタイン の一般相対性理論の 「特殊解」 をみつけたことを列挙できるでしょう。「第 1階述語論理の完全性」 が、ふつう、「完全性定理」 とよばれ、「算術の不完全性」 が、ふつう、「不完全性定理」 とよばれています。「完全性」 とか 「不完全性」 という ことば は、数学的意味と日用の語法では違いがあるので、まず、数学的な意味を理解しなければならないでしょうね。特に、「不完全性」 という ことば は、日用語法では、「欠陥がある」 点を想像しがちなので。

　まず、以下の用語を理解して下さい。

　（1） 無矛盾
　（2） 完全性

　「矛盾」 というのは、「A ∧ ¬A」 （「A であり、かつ、A でない」） が起こる事態です。すなわち、ひとつの命題 （A） と その命題の否定 （非 A） が、同時に成立することを云います。したがって、「無矛盾」 とは、その反対概念で、「A ∨ ¬A」 （「A であるか、あるいは、A でない」） ことを云います。「A は、A である」 という形式を、証明の途中で、「A は、非A である」 という意味に変えてしまうと、正しい判断ができない。したがって、ひとつの概念は、思考過程において、同一の意味をもち続けなければならない、という思考法則 （同一律、自同律） を形式的要件としたのが 「無矛盾性」 です。

　「完全性」 とは、ひとつの命題のなかで、A あるいは ¬A のいずれかを証明できる （判断できる） ことを云います。逆に言えば、A とも ¬A とも判断できない事態を 「不完全性」 と云います。

　さて、ゲーデル の 「完全性定理」 は、「第 1階の述語論理」 では、「トートロジー （恒真命題） が証明可能である」 ことを証明した定理です。ここで、「第 1階の述語論理」 とは、量化記号 （∀ と ∃） が個体を束縛する ロジック を云います--たとえば、∀x P (x)　とか、∃x P (x)。「第 1階の述語論理」 は、ふつう、単に、「述語論理」 とよばれています。いっぽう、述語に対して量化を適用した論理を 「第 2階の述語論理」 と云います--たとえば、∃P ∀x P (x) など。

　本 エッセー の最初に述べましたが、完全性定理を扱う前に、まず、以下の 3つの概念を把握してください。

　　（1） 恒真
　　（2） 充足的
　　（3） 恒偽

　「恒真」 というのは、任意の （all という意味） 変域の任意の （all という意味） 値について真であることを云います。「命題論理」 では、「恒真」 のことを 「トートロジー （同語反復）」 と云います。恒真命題の例としては、「A ∨ ¬A」 とか。「トートロジー」 という言いかたは、ウィトゲンシュタイン が導入した概念です。「充足的」 というのは、或る変域の或る値について （適当な代入値をとれば） 真と成り得ることを云います。「命題論理」 では、事態が 「充足」 しているかどうか--事態の成立・不成立--は 「真理値表」 を使って判断されます。すなわち、真・偽を判断する 「一般手続き」 が、「命題論理」 にはあるのですが、いっぽうで、対象が 「無限」 になったとき--すなわち、「∀」 という量化が適用されたとき--や、∃x としても、対象の数が非常に多いときには、「真理値表」 を使って真・偽を験証することができないでしょうね。そういう状態のときには、「恒真性の テスト」 は、「証明」 を使わなければならないでしょう。となれば、「第 1階の述語論理」 が--言い換えれば、「述語論理」 の公理系が--、恒真命題 （トートロジー） を証明できるかどうかという 「完全性」 が争点になります。その争点に対して、肯定的な答えを与えたのが、ゲーデル の 「完全性定理」 です。すなわち、「（『第 1階の述語論理』 において、） 恒真命題は、すべて、証明可能である」 と。

　ただし、ゲーデル 氏が証明したのは、「対偶」 を使って--すなわち、「p → q」 なら、「¬q → ¬p」 が同値であることを使って--、「証明可能でない命題には、反例の モデル が存在する」 という点でした。ゲーデル 氏の証明では、「ケーニヒ の補題」 が流用されています。ただ、ゲーデル 氏の証明法は、反例の構成を見通すのが難しいので、のちに、ヘンキン 氏が一般形として具体的に モデル を構成しました （1949年）。拙著 「論理 データベース 論考」 131ページ で まとめた 「完全性定理」 は、「一般完全性定理」 （モデル の存在定理） を使った証明法です。

　「意味論」 の領域では、ゲーデル、タルスキー、カルナップ、モンタギュー、デヴィドソン、カプラン、クリプキに至る系統が重視されていますので、われわれ システム・エンジニア が、もし、モデル を本格的に学習するならば、かれらの説を学習しなければならないのですが、いっぽうで、数学上、「モデル 論」 として、レーヴェンハイム と スコーレム は 「原点」 でしょうから、レーヴェンハイム と スコーレム も学習して下さい。