数学上、正確に言えば、「関係」 と 「関数」 は違う概念です （120ページ を参照して下さい）。
　さて、本 エッセー で述べた 「整列定理と選択公理」 は、「集合」 の観点からいえば、以下の順で証明されます。

　　　「選択公理」 ←→ 「整列定理」 → 「整列集合」

　集合 M の （空集合でない） 任意の部分集合を N とするとき、N にふくまれる一つの 元 （メンバー） を選んで、N の代表元とします。

　「選択公理」 （「ツェルメロ の公理」 とも云います） とは、「任意の集合は、そのすべての部分集合 （集合族）──ただし、空集合でない──に、それぞれの代表元を同時に対応させることができる」 という公理です。「対応させることができる」 という意味は、関数 f を考えることができる、ということです。すなわち、集合 X の集合族 A において、A に属するそれぞれの部分集合 a に対して、a に属する元 f (a) を一意に対応させる関数 f: A → X が存在するということです。この関数のことを 「選択関数 （choice function）」 と云います。言い換えれば、「空集合を元としない集合族 A に対して、A の選択関数が存在する」 という命題のことを 「選択公理」 と云います。この公理が 「整列定理」 を証明するのに用いられました。

　「整列定理」 とは、「任意の集合は、その元のあいだに適当な順序を定義すれば、整列集合となる」 という定理です。逆に言えば、「整列定理」 を仮定すれば、選択公理を証明することができる、ということです。

　「整列集合」 （well-ordered set） とは、M を全順序集合とし、M の （空集合でない） どんな部分集合も、かならず、最初の元をもつとき、M を整列集合と云います。

　以上の説明を理解できれば、「選択公理」 で得られる 「整列集合」 は、以下の 2つと同値であることも理解できるでしょう。

　（1） 直積集合 （direct product）
　（2） 直和集合 （direct sum）

　A を添数集合とする集合族──添数 （suffix） とは、a_ij における i, j のような数字のことをいい、たとえば、行列 ( a₁₁, a₁₂, ・・・, a₂₁, a₂₂, ・・・) などで用いられますが── { A_λ } (λ ∈ A ) において、すべての λ ∈ A に対して、A_λ ≠ φ ならば、直積集合 ΠA_λ ≠ φ です。

　集合 A が部分集合の族 { A_λ } (λ ∈ A ) の直和 A ＝ ΣA_λであるとき、A_λとちょうど一つの元を共通にもつ A の部分集合が存在します。この部分集合を 「選択集合 （choice set）」 と云います。言い換えれば、それぞれの部分集合 A_λには、順序が定められていて、a, b ∈ A に対して、a, b ∈ A_λとなる λ ∈ Λ があって、A_λにおける順序が a ≦ b であるとき、この順序集合 A は、順序集合の族 ｛ A_λ } ( λ ∈ A ) の 「直和」 と云います。同じように、直積集合 P ＝ ΠA_λ( λ ∈ A ) で、ふたつの元 ( a_λ) ( b_λ) に対して、任意の λ ∈ A に関して、a_λ ≦ b_λ であるとき、直積集合 P は、順序集合の族 ｛ A_λ } ( λ ∈ A ) の 「直積順序集合 （direct product ordered set）」 と云います。